Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
Deze open-source cursus is in ontwikkeling. De aanbevelingen van leerlingen om
dit materiaal te verbeteren zijn erg welkom via info@wiskunde.opmaat.org Dit kan gaan over:
Een voorbeeld dat onduidelijk is.
Onnauwkeurigheden, schrijffouten, ...
Een tussenstap die beter uitgelegd moet worden.
Een uitleg die je op youtube, wikipedia of aan de kersttafel gevonden hebt
die ophelderend was.
...
Er zijn legio voorbeelden waarin trillingen en golven voorkomen. Als inleiding
zullen we er hier een niet onaardige kort aanstippen. Aanschouw de volgende
wonderbaarlijke vergelijkingen …
Je zal misschien zeggen dat ze je niets zeggen. Toch ken je alle vier de vergelijkingen
op één term na. Je bent waarschijnlijk gewoon niet vertrouwd met de symbolen en de
compacte manier waarop ze zijn weergegeven. (Het symbool \(\vec {\nabla }\) staat voor \(\vec {\nabla }=\frac {\partial }{\partial x}\vec {e}_x+\frac {\partial }{\partial y}\vec {e}_y+\frac {\partial }{\partial z}\vec {e}_z\). Het is
een operator. Ze wordt de nabla-operator genoemd. \(\times \) staat voor het vectorproduct (de
derde rechterhandregel ken je om de richting van de resulterende vector te bepalen)
en \(\cdot \) staat voor het scalair product.) De letters E en B zouden wel een lichtje
moeten doen branden; het gaat over elektrische en magnetische velden. De
vergelijkingen vormen de fundamentele wetten van het elektromagnetisme en
worden de wetten van Maxwell (James Clerk Maxwell (1831 - 1879))
genoemd.
Dit is niet omdat hij ze heeft uitgevonden maar omdat hij – naast die ene term
die je niet kent er aan toegevoegd te hebben – de verschillende bestaande
wetten heeft samengevoegd. Zo eenvoudige, compacte vergelijkingen met
symbolen die een lust zijn voor het oog, in een wiskundige taal die onze snaar
van zuivere logica en abstractie doet trillen, omvatten en beschrijven een
onwaarschijnlijke uitgebreide waaier van verschijnselen. Dat is fysica ten
top!
In de vergelijkingen staat ook een \(c\)…Juist ja, de \(c\) van de lichtsnelheid. Op het eind van
de 19de eeuw was er bij het opstellen van de vergelijkingen nog geen \(c\) aanwezig. In de
plaats van \(c^2\) stond er \(\frac {1}{\mu _0\epsilon _0}\) oftewel (Door \(c\) in de vierde vergelijking te vervangen en
de laatste term in het rechterlid weg te laten, herken je enigszins de jouw
bekende formule \(B=\frac {\mu _0}{2\pi }\frac {I}{d}\). De uitdrukking \(2\pi d\) als omtrek van een cirkel zit vervat in
\(\vec {\nabla }\times \vec {B}\).)
Maxwell kende echter de waarde van \(c\) en zag de gelijkenis…. Bovendien
liet hij zien dat een golvend elektrisch en een golvend magnetisch veld dat
zich met dezelfde waarde als de lichtsnelheid voortplantte, een oplossing
was van de vergelijkingen (Deze voetnoot bekijk je beter wanneer we
het hoofdstuk over golven achter de rug hebben. En zelfs dan is hij niet
zomaar te verstaan…Maar we lopen hier toch even voor op de feiten. In het
luchtledige reduceert de eerste vergelijking tot \(\vec {\nabla }\cdot \vec {E}=0\) en de laatste tot \(c^2\vec {\nabla }\times \vec {B}=\frac {\partial \vec {E}}{\partial t}\). Er zijn dan
immers geen ladingen en geen stromen. Net iets geavanceerder rekenen met \(\vec {\nabla }\)
levert, als we slechts één dimensie beschouwen, de vergelijking \(\frac {\partial ^2E}{\partial t^2}=c^2\frac {\partial ^2E}{\partial x^2}\) op. Dit is
een golfvergelijking met \(E=E_0\sin (kx -\omega t)\) als mogelijke oplossing als \(c=\lambda f\). Dit kan je nagaan
door in te vullen. De oplossing is dus een golf die zich met de lichtsnelheid
voortbeweegt!) . Dat wilde zeggen dat hij dus een tot dan toe onverklaarbaar
verschijnsel als het licht kon verklaren met een elektromagnetische golf. En
dit als gevolg van de opgestelde wetten. Om het in zijn eigen woorden te
zeggen:
This velocity is so nearly that of light, that it seems we
have strong reasons to conclude that light itself […] is an
electromagnetic disturbance in the form of waves propagated through
the electromagnetic field according to electromagnetic laws.
Het ongelofelijk knappe hiervan is dat die wetten hun oorsprong vinden in
verschijnselen die daar op het eerste zicht niets mee te maken hebben: het
aantrekken en afstoten van ladingen, magneten en stromen. Deze verschijnselen
zijn in de eeuwen daarvoor onderzocht en door verschillende grote fysici in
wetmatigheden gegoten om vervolgens, als bijkomende consequenties, ook licht,
radiogolven, gsm-straling en alle andere golven binnen het elektromagnetische
spectrum te kunnen beschrijven. Dat is binnen de fysica alweer een staaltje van
unificatie!
Semester 1