Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
Deze open-source cursus is in ontwikkeling. De aanbevelingen van leerlingen om
dit materiaal te verbeteren zijn erg welkom via info@wiskunde.opmaat.org Dit kan gaan over:
Een voorbeeld dat onduidelijk is.
Onnauwkeurigheden, schrijffouten, ...
Een tussenstap die beter uitgelegd moet worden.
Een uitleg die je op youtube, wikipedia of aan de kersttafel gevonden hebt
die ophelderend was.
...
De ééndimensionale beweging met een constante versnelling wordt de eenparig
veranderlijke rechtlijnige beweging genoemd (EVRB). Eenparig betekent gelijkmatig;
bij een constante versnelling is de verandering van de snelheid steeds gelijk. De
grafiek van \(a(t)=a\) is een constante met \(a\) een reëel getal is. Ook voor deze beweging kan je
de plaatsfunctie en snelheidsfunctie bepalen en zo het verloop van de plaats en
snelheid in functie van de tijd kennen.
De versnelling is de afgeleide van de snelheid. Voor een constante versnelling is de
snelheid in functie van de tijd een lineaire functie (in de tijd).
Strikt genomen wordt hier iets over het hoofd gezien. A priori zou het immers kunnen
dat er nog andere functies dan lineaire functies zijn waarvoor de afgeleide een
constante functie is. Dat is echter niet het geval. Het bewijs hiervan zie je
later dit jaar in het vak wiskunde. Je bewijst dat alle mogelijke functies
die in aanmerking komen slechts op een constante na aan elkaar gelijk zijn.
Uit het snelheidsverloop kan je de plaats afleiden. De snelheid is de afgeleide van
de plaatsfunctie. Voor een lineaire snelheidsfunctie is de positie bijgevolg
een kwadratische functie (in de tijd). De afgeleide van een kwadratische
functie is immers een lineaire functie. (Hier geldt een gelijkaardige
opmerking.)
Dat de positie in functie van de tijd een tweedegraadsveeltermfunctie is, geeft in
symbolen:
\[ x(t)=pt^2+qt+r \]
De constanten \(p\), \(q\) en \(r\) is deze formule hebben een fysische betekenis. De snelheid is de
afgeleide van deze plaatsfunctie en de versnelling komt overeen met de tweede
afgeleide. Dit levert:
\[ v(t) =\frac {dx(t)}{dt}=2pt+q \]
\[ a(t) =\frac {d^2x(t)}{dt^2}=2p \]
Voor de EVRB is de versnelling constant en bijgevolg volgt uit de laatste regel dat
\(a(t)=a=2p\Leftrightarrow p=\frac {a}{2}\).
Noteer met \(v_0=v(0)\) de snelheid op tijdstip \(t=0\). In de eerste vergelijking \(t=0\) invullen levert dan \(q=v_0\). De
constante \(q\) stelt de beginsnelheid voor.
Noteer met \(x_0=x(0)\) de positie op tijdstip \(t=0\). In de plaatsfunctie \(t=0\) invullen levert dan \(r=x_0\). De
constante \(r\) stelt dus de beginpositie voor.
De plaatsfunctie \(x(t)\) en de snelheidsfunctie \(v(t)\) van een EVRB met versnelling \(a\) worden
gegeven door:
Hierin is \(x_0\) de beginpositie en \(v_0\) de beginsnelheid. Ze worden bepaald door
de beginvoorwaarden of randvoorwaarden.
Figuur 1: Grafieken van de EVRB
Indien de beschrijving van de beweging niet op \(t=0\) start, maar op een gegeven tijdstip \(t_0\),
dan wordt in de beschrijving \(t\) vervangen door \(\Delta t= t-t_0\), de verstreken tijd vanaf het
begintijdstip \(t_0\). De plaatsfunctie en zijn afgeleide worden dan een klein beetje
ingewikkelder:
bij een EVRB kan je dus het rekenkundig gemiddelde gebruiken om de gemiddelde
snelheid te berekenen. In onderstaande figuur is \(\overline {v}\) grafisch weergegeven als het midden
van de lineaire snelheidsfunctie.
![[Picture]](tikz/1dim_EVRB_calculus-figure0.svg)
![[Picture]](tikz/1dim_EVRB_calculus-figure1.svg)