Gebaseerd op cursus SPC 2021

Verbeteringen/fouten/onduidelijkheden/...?

Deze open-source cursus is in ontwikkeling. De aanbevelingen van leerlingen om dit materiaal te verbeteren zijn erg welkom via info@wiskunde.opmaat.org
Dit kan gaan over:

  • Een voorbeeld dat onduidelijk is.
  • Onnauwkeurigheden, schrijffouten, ...
  • Een tussenstap die beter uitgelegd moet worden.
  • Een uitleg die je op youtube, wikipedia of aan de kersttafel gevonden hebt die ophelderend was.
  • ...

Een voorwerp in beweging heeft een snelheid. De ervaring leert dat hoe groter de snelheid, hoe groter de verplaatsing in een bepaald tijdsinterval. Als je fietst aan \(30\) \(\mathrm {km}/\mathrm {h}\), leg je op één uur tijd \(30\) \(\mathrm {km}\) af. Als je wandelt aan \(5\) \(\mathrm {km}/\mathrm {h}\), leg je op één uur tijd slechts \(5\) \(\mathrm {km}\) af. De snelheid van een voorwerp kan volledig bepaald worden met behulp van de plaatsfunctie. Een voorwerp heeft immers snelheid als de plaats of positie verandert.

We behandelen eerst de snelheid in één dimensie. Daarna kijken we naar de snelheid in twee dimensies, die wordt opgebouwd als samenstelling van twee (eendimensionale) snelheidscomponenten.

Snelheid bij eendimensionale bewegingen

De tijd nodig voor een bepaalde verplaatsing geeft aanleiding tot de gemiddelde snelheid.

In het traject van de zeilboot is de gemiddelde snelheid van de boot tussen de tijdstippen \(t_1\) en \(t_2\) gelijk aan \(\overline {v} =\frac {\Delta x}{\Delta t} =\frac {x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac {\SI {10}{\meter } - \SI {40}{\meter }}{\SI {15}{\second } - \SI {5}{\second }}= \frac {\SI {-30}{\meter }}{\SI {10}{\second }} = \SI {-3}{\meter \per \second }\). Deze gemiddelde snelheid is negatief, wat betekent dat de zeilboot tegen de zin van de referentie-as is bewogen.

Quick Question 1

Hoe je op de plaatsgrafiek van de zeilboot de gemiddelde snelheid tussen \(t_1\) en \(t_2\) aanduiden?

Ogenblikkelijke snelheid bij eendimensionale bewegingen

De gemiddelde snelheid \(\overline {v}\) is enkel gedefinieerd tussen twee posities \(x_1\) en \(x_2\). De plaatsfunctie \(x(t)\) kent voor elk tijdstip \(t\) een positie \(x\) toe aan een puntmassa. Op dezelfde manier zou je op elk tijdstip de snelheid willen kennen.

De eenheid van snelheid is \(\mathrm {m}/\mathrm {s}\), het gaat dus over het aantal meter dat in een bepaald tijdsinterval wordt afgelegd. Op één bepaald moment \(t\), één ogenblik, is er helemaal geen tijdsverloop en bijgevolg kan er ook geen verplaatsing zijn …! Er is immers geen tijd verstreken om afstand te kunnen afleggen.

Denkvraag 2

Als een raket opstijgt vanuit stilstand is de snelheid duidelijk groter dan nul. Wat is volgens jou de snelheid op het eerste moment dat een opstijgende raket de grond niet meer raakt?

‘Ja, maar’, ga je zeggen, ‘de snelheidsmeter van mijn fiets zegt toch hoe hard ik ga?!’ Dat lijkt inderdaad een ogenblikkelijke snelheid te zijn, maar in werkelijkheid is dat steeds de gemiddelde snelheid over het tijdsinterval dat het sensortje op je wiel nodig heeft om één omwenteling te maken. Je snelheidsmeter berekent dus de gemiddelde snelheid door je wielomtrek te delen door de tijd van één omwenteling. Als je plots remt gaat je snelheid afnemen, maar je metertje gaat dit niet ogenblikkelijk kunnen aangeven. Het moet wachten totdat het sensortje weer rond is geweest om de tijd te kennen en zo de nieuwe snelheid te kunnen registreren.

Hoe kan dit probleem opgelost worden? Om de ogenblikkelijke snelheid op \(t_1 = \SI {5}{\second }\) te kennen, lijkt het eerste (en misschien wel enige...) idee om te vertrekken van de gemiddelde snelheid tussen \(t_1\) en \(t_2\) die hierboven werd berekent. Deze gemiddelde snelheid kan je beschouwen als een erg ruwe schatting van de snelheid op \(t_1 = 5\).

\[ \overline {v} =\frac {\Delta x}{\Delta t} =\frac {x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac {\SI {10}{\meter } - \SI {40}{\meter }}{\SI {15}{\second } - \SI {5}{\second }}= \frac {\SI {-30}{\meter }}{\SI {10}{\second }} = \SI {-3}{\meter \per \second } \]

Figuur 1: De gemiddelde snelheid voor \(t_1 = 5\) en \(t_3 = 15\)

Indien niet met \(t_2 = \SI {15}{\meter }\) de gemiddelde snelheid wordt berekent, maar bijvoorbeeld met \(t_l = \SI {10}{\second } \), zal deze gemiddelde snelheid vermoedelijk beter de ogenblikkelijke snelheid op \(t_1\) benaderen.

Op de plaatsgrafiek schuift de zeilboot naar \(t_1\). De gemiddelde snelheid \(\bar {v} = \frac {x_l - x_1}{t_l-t_1}\) is vermoedelijk een betere benadering voor de ogenblikkelijke snelheid op \(t_1\). Maar het is nog steeds een gemiddelde snelheid!

Door de gemiddelde snelheid te berekenen voor \(t_m = 7\) wordt de benadering voor de ogenblikkelijke snelheid op \(t_1\) nog beter... Op de grafiek komen de twee schepen nu wel erg dicht bij elkaar...

Figuur 2: De gemiddelde snelheid voor \(t_1 = 5\) en \(t_l = 10\)

De ogenblikkelijke snelheid wordt dus beter en beter benaderd door het tijdsinterval kleiner en kleiner en kleiner en kleiner…te nemen. De ogenblikkelijke snelheid gedefinieerd als de limiet van de gemiddelde snelheid over een tijdsinterval waarbij we dat interval naar nul laten gaan.

Grafisch kan je de afgeleide interpreteren als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. In een \(x-t\) grafiek (de grafiek van de functie \(x(t)\), \(x\) in functie van \(t\)) vind je de snelheid als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het beschouwde punt.

Figuur 3: De snelheid als richtingscoëfficiënt aan de raaklijn
Hieronder staat opnieuw de plaatsfunctie \(x(t)\) van de zeilboot. Bepaal enkel met de grafiek en zonder te rekenen:
Waar is de snelheid \(0\)?
Waar heeft de zeilboot een positieve snelheid?
Waar is de snelheid negatief?
Op welk moment beweegt de zeilboot het snelst?
Figuur 5: De positie van de zeilboot met een tijd-as

Snelheid bij tweedimensionale bewegingen

Bij voorwerpen die in twee dimensies bewegen, splitst men de beweging op in loodrechte x- en y-componenten. Op die manier bekomt men gelijkaardige formules zoals in het 1D geval.

We kunnen dit bewijzen met de kettingregel, toegepast op de functie \(y(t)=y(x(t))\).
\begin{eqnarray*} \frac {dy}{dt}=\frac {dy}{dx}\frac {dx}{dt}\Leftrightarrow \frac {dy}{dx}=\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}=\frac {v_y}{v_x} \end{eqnarray*}

Inderdaad, \(\frac {dy}{dx}\) is de helling van de baan en deze valt samen met de helling die de snelheidsvector maakt \(\frac {v_y}{v_x}\).