Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
Deze open-source cursus is in ontwikkeling. De aanbevelingen van leerlingen om
dit materiaal te verbeteren zijn erg welkom via info@wiskunde.opmaat.org Dit kan gaan over:
Een voorbeeld dat onduidelijk is.
Onnauwkeurigheden, schrijffouten, ...
Een tussenstap die beter uitgelegd moet worden.
Een uitleg die je op youtube, wikipedia of aan de kersttafel gevonden hebt
die ophelderend was.
...
Positie en plaatsfunctie
Met behulp van een referentiestelsel kan elke plaats van een puntmassa in de
ruimte worden beschreven met een positie- of plaatsvector, algemeen
genoteerd door \(\vec {r}\). Afhankelijk van het aantal dimensies waarin de beweging
beschreven wordt, heeft deze plaatsvector één, twee of drie vectorcomponenten
volgens de gekozen assen, doorgaans \(\vec {x}\), \(\vec {y}\) en \(\vec {z}\) genaamd. De getalcomponenten of
kortweg componenten van deze vectoren zijn de plaatscoördinaten \(x\),\(y\) en \(z\).
Dat zijn scalaire grootheden, omdat ze een getalcomponent en een eenheid
bevatten.
De positie van een puntmassa \(A\) wordt vectorieel beschreven met de plaatsvector \(\vec {r}\).
Het is de vector die van de oorsprong wijst naar het punt waar de massa
zich bevindt. Een plaatsvector \(\vec {r}\) kan ontbonden worden volgens de assen:
Hierin is \(co(A) = (x,y)\) de coördinaat van het punt en zijn \(\vec {e}_x\) en \(\vec {e}_y\) eenheidsvectoren volgens de
assen.
Figuur 1: De plaatsvector \(\vec {r}\)
Als een puntmassa beweegt, verandert haar plaatsvector \(\vec {r}\). De componenten ervan
hangen dus af van de tijd. Elke coördinaatfunctie geeft voor elk moment \(t\) de
coördinaat van de puntmassa volgens een welbepaalde-as. Al deze componentfuncties
samen beschrijven op een equivalente manier de volledige beweging van de
puntmassa.
Over vectorfuncties
De beweging van een puntmassa wordt beschreven door een
functie die de plaats\(\vec {r}\) weergeeft in functie van de tijd. De plaatsfunctie\(\vec {r}\) =
\(\vec {r}\)(t) geeft voor elk tijdstip \(t\) de positie \(\vec {r}\) waar de puntmassa zich bevindt. In
het algemeen is een dergelijke vectorfunctie ingewikkeld om te hanteren,
daarom wordt er gewerkt met de tijdsafhankelijke getalcomponenten \(x(t)\),\(y(t)\) en \(z(t)\).
Bij eendimensionale bewegingen is er slechts één as nodig om de beweging
te beschrijven. Het is dan handig om met de componenten te werken, die
tijdsafhankelijk kunnen zijn. ( In fysica gebruiken we wiskunde als ‘taal’ om de
wetmatigheden van de natuur uit te drukken. Wiskundige variabelen en objecten
zoals functies krijgen nu een fysische betekenis. \(x(t)\) is dus niets anders dan een functie \(f(x)\)
of \(y(x)\) zoals je die in wiskunde kent. Alleen nemen wij nu niet voor de onafhankelijke
variabele het symbool \(x\), maar het symbool \(t\). En voor het symbool \(f\) gebruiken wij nu
het symbool \(x\) omdat die de beeldwaarden zijn van de functie \(f\), \(x\) is afhankelijk van \(t\).
)
De positie op een welbepaald tijdstip \(t_1\) wordt genoteerd als (Natuurlijk kan de
index 1 ook vervangen worden door andere indices. Voorbeelden zijn \(x_0=x(t_0)\) en \(x_2=x(t_2)\).)
\begin{eqnarray*} x_1=x(t_1). \end{eqnarray*}
In onderstaande figuur zie je de rechtlijnige tocht van een zeilschip. Op verschillende
tijdstippen \(t_0,t_1, t_2,\ldots \) wordt weergegeven waar het schip zich bevindt.
Figuur 2: De positie van de zeilboot voor elke tijd \(t\)
In de natuurkunde is tijd een dimensie. (Einstein gaf een beschrijving voor de
zwaartekracht in de 4-dimensionale ruimte-tijd.) In bovenstaande figuur wordt
boven elke zeilboot aangegeven op welk tijdstip de boot daar werd waargenomen.
Zo bevindt de boot zich op \(t_1 = \SI {5}{\second }\) op de positie \(40\) \(\mathrm {m}\), dus \(x_1 = \SI {40}{\meter }\). De startpositie van de
zeilboot \(x_0\) is gelijk aan \(\SI {30}{\meter }\), want voor \(t_0 = \SI {0}{\second }\) geldt \(x(0) = \SI {30}{\meter }\). In plaats van de tijd boven elke
zeilboot te noteren, is het ook mogelijk om de tocht op een tijd-as uit te
zetten.
Figuur 3: De positie van de zeilboot met een tijd-as
Uitweiding 1: Over tijd en ruimte en dimensie en assen
Er zit geen extra informatie in bovenstaande figuur! We hebben enkel de
tijdsdimensie uitgezet op een horizontale-as en de positie op de verticale-as.
Als je nu ijverig natuurkunde aan het studeren bent, kan je ’de positie’ van
dit blad papier onderzoeken. Dit blad ligt stil op je bureau en je probeert te
begrijpen wat er uitgelegd wordt. Dan verandert de positie volgens de positie-as
natuurlijk niet, maar het blad beweegt zich wel voort op de tijd-as. (Want terwijl je dit aan het lezen bent staat de tijd natuurlijk niet stil...1)
De positie van de zeilboot is enkel weergegeven voor een aantal specifieke
momenten \(t_0, t_1, t_2, t_3 \text { en } t_4\). De boot heeft natuurlijk ook op elk moment hiertussen een positie
…
Figuur 4: De plaatsfunctie van de zeilboot voor elke \(t \in [0, 35]\)
De plaatsfunctie \(x(t)\) geeft voor elk moment \(t\) de component \(x\) van de positie van het
voorwerp. \(x(t)\) geeft de plaatsfunctie die je kan uitzetten in een grafiek met verticale \(x\)-as
en horizontale \(t\)-as. De positie op een welbepaald tijdstip \(t_a\) wordt genoteerd als
\[ x_a = x(t_a) \]
Figuur 5: De grafiek van een plaatsfunctie \(x(t)\)
De verplaatsing tussen \(t_1\) en \(t_2\) is het verschil in positie tussen de twee tijdstippen \(t_1\) en \(t_2\),
genoteerd met een \(\Delta \)\(\vec {r}\) (Delta, een Griekse hoofdletter D van het Engelse ’displacement’
of het Franse ’déplacement’).
De verplaatsing\(\Delta \vec {r}\) is het verschil tussen twee posities:
\[ \Delta \vec {r} = \vec {r}_2 - \vec {r}_1 \]
Zoals aangegeven in de figuur kan ook de verplaatsingsvector \(\Delta \vec {r}\) ontbonden
worden.
Voor ééndimensionale bewegingen is de verplaatsing eenvoudig scalair te berekenen
met: \(\Delta x\) = \(x_{eind}-x_{begin}\). De verplaatsing van de zeilboot tussen de tijdstippen \(t_0\) en \(t_1\) is gelijk aan \( \Delta x = x_1-x_0 = \SI {40}{\meter } - \SI {30}{\meter } = \SI {10}{\meter }\).
Tussen \(t_2\) en \(t_3\) is de verplaatsing gelijk aan \(\Delta x = x_3 - x_2=\SI {-10}{\meter } - \SI {10}{\meter } = \SI {-20}{\meter }\). Deze laatste verplaatsing is negatief, wat
aangeeft dat de zeilboot netto naar achteren is bewogen – tegengesteld aan de zin van
de gekozen as. Op de plaatsfunctie kan de verplaatsing eenvoudig afgelezen
worden:
Figuur 6: De verplaatsing op de plaatsfunctie
Quick Question 1
Bereken de verplaatsing \(\Delta x = x_4 - x_1\) van de zeilboot en duid deze verplaatsing aan op de
grafiek.
Wanneer een voorwerp beweegt, doorloopt het meerdere posities. De verbindingslijn
van al deze gepasseerde posities, noemt men de baan van de beweging. Een
ééndimensionale beweging heeft een rechte baan. Een tweedimensionale is doorgaans
krom en kan meerdere vormen hebben (willekeurig, cirkelvormig, paraboolvormig,
ellipsvormig,…). Soms is men geïnteresseerd in een baanvergelijking waarin men de
afhankelijkheid tussen x en y wiskundig neerschrijft. Indien de functies \(x(t)\) en \(y(t)\) gekend
zijn, kan soms een (expliciete) baanvergelijking bekomen worden door één
voorschrift uit te werken naar \(t\) en dit vervolgens te substitueren in de andere
vergelijking.
De positie van puntmassa \(A\) in het \(xy\)-vlak wordt gegeven door
\[ \left \{ \begin{array}{l} x = t^7 \\ y = -t^2 - 3t \end{array} \right . \]
Een rechtstreekse berekening levert \( x = t^7 \Rightarrow t = \sqrt [7]{x} \). Dit substitueren in het voorschrift \(y(t)\) geeft de
baanvergelijking \(y(x)\):
Let op: de verplaatsing is niet hetzelfde als de afgelegde weg tussen de twee
bijbehorende tijdstippen. Als je een rondje hebt gelopen op de atletiekpiste en terug
aan start staat is je (netto) verplaatsing nul, maar je hebt wel degelijk afstand
afgelegd. De verplaatsing geeft enkel het verschil (in vogelvlucht) tussen begin- en
eindpunt, terwijl de afgelegde weg \(s\) gaat over de afstand die het bewegende voorwerp
over zijn baan aflegt.
Semester 1![[Picture]](tikz/basis_positie-figure0.svg)
![[Picture]](tikz/basis_positie-figure1.svg)
![[Picture]](tikz/basis_positie-figure2.svg)
![[Picture]](tikz/basis_positie-figure3.svg)
![[Picture]](tikz/basis_positie-figure4.svg)
![[Picture]](tikz/basis_positie-figure5.svg)
![[Picture]](tikz/basis_positie-figure6.svg)
![[Picture]](tikz/basis_positie-figure7.svg)
![[Picture]](tikz/basis_positie-figure8.svg)