De versnelling

$\newenvironment {prompt}{}{} \newcommand {\accordion }[0]{} \newcommand {\ungraded }[0]{} \newcommand {\xmDefaultPreamble }[0]{xmPreamble.tex} \newcommand {\AfterLastShipout }[0]{\AddToHook {enddocument/afterlastpage}} \newcommand {\AtVeryEndDocument }[0]{\AddToHook {enddocument/afteraux}} \newcommand {\AtEndAfterFileList }[0]{\AddToHook {enddocument/info}} \newcommand {\AtVeryVeryEnd }[0]{\AddToHook {enddocument/end}} \newcommand {\multirowsetup }[0]{\raggedright } \newcommand {\tdplotsinandcos }[3]{\pgfmathsetmacro {#1}{sin(#3)}\pgfmathsetmacro {#2}{cos(#3)}} \newcommand {\tdplotdiv }[3]{\pgfmathsetmacro {#1}{#2/#3}} \newcommand {\tdplotcheckdiff }[5]{\par \par \pgfmathparse { abs(#2 - #1)<#3 } \par \ifthenelse {\equal {\pgfmathresult }{1}}{#4}{#5} } \newcommand {\tdplotsetmaincoords }[2]{\pgfmathsetmacro {\tdplotmaintheta }{#1} \pgfmathsetmacro {\tdplotmainphi }{#2} \tdplotcalctransformmainscreen \tikzset {tdplot_main_coords/.style={x={(\raarot cm,\rbarot cm)},y={(\rabrot cm, \rbbrot cm)},z={(\racrot cm, \rbcrot cm)}}}} \newcommand {\tdplotcalctransformmainscreen }[0]{\tdplotsinandcos {\sintheta }{\costheta }{\tdplotmaintheta }\tdplotsinandcos {\sinphi }{\cosphi }{\tdplotmainphi }\tdplotmult {\stsp }{\sintheta }{\sinphi }\tdplotmult {\stcp }{\sintheta }{\cosphi }\tdplotmult {\ctsp }{\costheta }{\sinphi }\tdplotmult {\ctcp }{\costheta }{\cosphi }\pgfmathsetmacro {\raarot }{\cosphi }\pgfmathsetmacro {\rabrot }{\sinphi }\pgfmathsetmacro {\racrot }{0}\pgfmathsetmacro {\rbarot }{-\ctsp }\pgfmathsetmacro {\rbbrot }{\ctcp }\pgfmathsetmacro {\rbcrot }{\sintheta }\pgfmathsetmacro {\rcarot }{\stsp }\pgfmathsetmacro {\rcbrot }{-\stcp }\pgfmathsetmacro {\rccrot }{\costheta }} \newcommand {\tdplotcalctransformrotmain }[0]{\tdplotsinandcos {\sinalpha }{\cosalpha }{\tdplotalpha } \tdplotsinandcos {\sinbeta }{\cosbeta }{\tdplotbeta } \tdplotsinandcos {\singamma }{\cosgamma }{\tdplotgamma } \tdplotmult {\sasb }{\sinalpha }{\sinbeta } \tdplotmult {\sbsg }{\sinbeta }{\singamma } \tdplotmult {\sasg }{\sinalpha }{\singamma } \tdplotmult {\sasbsg }{\sasb }{\singamma } \tdplotmult {\sacb }{\sinalpha }{\cosbeta } \tdplotmult {\sacg }{\sinalpha }{\cosgamma } \tdplotmult {\sbcg }{\sinbeta }{\cosgamma } \tdplotmult {\sacbsg }{\sacb }{\singamma } \tdplotmult {\sacbcg }{\sacb }{\cosgamma } \tdplotmult {\casb }{\cosalpha }{\sinbeta } \tdplotmult {\cacb }{\cosalpha }{\cosbeta } \tdplotmult {\cacg }{\cosalpha }{\cosgamma } \tdplotmult {\casg }{\cosalpha }{\singamma } \tdplotmult {\cacbsg }{\cacb }{\singamma } \tdplotmult {\cacbcg }{\cacb }{\cosgamma } \pgfmathsetmacro {\raaeul }{\cacbcg - \sasg } \pgfmathsetmacro {\rabeul }{-\cacbsg - \sacg } \pgfmathsetmacro {\raceul }{\casb } \pgfmathsetmacro {\rbaeul }{\sacbcg + \casg } \pgfmathsetmacro {\rbbeul }{-\sacbsg + \cacg } \pgfmathsetmacro {\rbceul }{\sasb } \pgfmathsetmacro {\rcaeul }{-\sbcg } \pgfmathsetmacro {\rcbeul }{\sbsg } \pgfmathsetmacro {\rcceul }{\cosbeta } } \newcommand {\tdplotcalctransformmainrot }[0]{\tdplotsinandcos {\sinalpha }{\cosalpha }{\tdplotalpha } \tdplotsinandcos {\sinbeta }{\cosbeta }{\tdplotbeta } \tdplotsinandcos {\singamma }{\cosgamma }{\tdplotgamma } \tdplotmult {\sasb }{\sinalpha }{\sinbeta } \tdplotmult {\sbsg }{\sinbeta }{\singamma } \tdplotmult {\sasg }{\sinalpha }{\singamma } \tdplotmult {\sasbsg }{\sasb }{\singamma } \tdplotmult {\sacb }{\sinalpha }{\cosbeta } \tdplotmult {\sacg }{\sinalpha }{\cosgamma } \tdplotmult {\sbcg }{\sinbeta }{\cosgamma } \tdplotmult {\sacbsg }{\sacb }{\singamma } \tdplotmult {\sacbcg }{\sacb }{\cosgamma } \tdplotmult {\casb }{\cosalpha }{\sinbeta } \tdplotmult {\cacb }{\cosalpha }{\cosbeta } \tdplotmult {\cacg }{\cosalpha }{\cosgamma } \tdplotmult {\casg }{\cosalpha }{\singamma } \tdplotmult {\cacbsg }{\cacb }{\singamma } \tdplotmult {\cacbcg }{\cacb }{\cosgamma } \pgfmathsetmacro {\raaeul }{\cacbcg - \sasg } \pgfmathsetmacro {\rabeul }{\sacbcg + \casg } \pgfmathsetmacro {\raceul }{-\sbcg } \pgfmathsetmacro {\rbaeul }{-\cacbsg - \sacg } \pgfmathsetmacro {\rbbeul }{-\sacbsg + \cacg } \pgfmathsetmacro {\rbceul }{\sbsg } \pgfmathsetmacro {\rcaeul }{\casb } \pgfmathsetmacro {\rcbeul }{\sasb } \pgfmathsetmacro {\rcceul }{\cosbeta } } \newcommand {\tdplotsetrotatedcoords }[3]{\pgfmathsetmacro {\tdplotalpha }{#1} \pgfmathsetmacro {\tdplotbeta }{#2} \pgfmathsetmacro {\tdplotgamma }{#3} \tdplotcalctransformrotmain \par \tdplotmult {\raaeaa }{\raarot }{\raaeul } \tdplotmult {\rabeba }{\rabrot }{\rbaeul } \tdplotmult {\raceca }{\racrot }{\rcaeul } \tdplotmult {\raaeab }{\raarot }{\rabeul } \tdplotmult {\rabebb }{\rabrot }{\rbbeul } \tdplotmult {\racecb }{\racrot }{\rcbeul } \tdplotmult {\raaeac }{\raarot }{\raceul } \tdplotmult {\rabebc }{\rabrot }{\rbceul } \tdplotmult {\racecc }{\racrot }{\rcceul } \tdplotmult {\rbaeaa }{\rbarot }{\raaeul } \tdplotmult {\rbbeba }{\rbbrot }{\rbaeul } \tdplotmult {\rbceca }{\rbcrot }{\rcaeul } \tdplotmult {\rbaeab }{\rbarot }{\rabeul } \tdplotmult {\rbbebb }{\rbbrot }{\rbbeul } \tdplotmult {\rbcecb }{\rbcrot }{\rcbeul } \tdplotmult {\rbaeac }{\rbarot }{\raceul } \tdplotmult {\rbbebc }{\rbbrot }{\rbceul } \tdplotmult {\rbcecc }{\rbcrot }{\rcceul } \pgfmathsetmacro {\raarc }{\raaeaa + \rabeba + \raceca } \pgfmathsetmacro {\rabrc }{\raaeab + \rabebb + \racecb } \pgfmathsetmacro {\racrc }{\raaeac + \rabebc + \racecc } \pgfmathsetmacro {\rbarc }{\rbaeaa + \rbbeba + \rbceca } \pgfmathsetmacro {\rbbrc }{\rbaeab + \rbbebb + \rbcecb } \pgfmathsetmacro {\rbcrc }{\rbaeac + \rbbebc + \rbcecc } \tikzset {tdplot_rotated_coords/.append style={x={(\raarc cm,\rbarc cm)},y={(\rabrc cm, \rbbrc cm)},z={(\racrc cm, \rbcrc cm)}}}} \newcommand {\tdplotsetrotatedcoordsorigin }[1]{\tikzset {tdplot_rotated_coords/.append style={shift=#1}}} \newcommand {\tdplotresetrotatedcoordsorigin }[0]{\tikzset {tdplot_rotated_coords/.append style={shift={(0,0,0)}}}} \newcommand {\tdplotsetthetaplanecoords }[1]{\tdplotresetrotatedcoordsorigin \tdplotsetrotatedcoords {270 + #1}{270}{0}} \newcommand {\tdplotsetrotatedthetaplanecoords }[1]{\tdplotsetrotatedcoords {\tdplotalpha }{\tdplotbeta }{\tdplotgamma + #1}\tikzset {tdplot_rotated_coords/.append style={y={(\raarc cm,\rbarc cm)},z={(\rabrc cm, \rbbrc cm)},x={(\racrc cm, \rbcrc cm)}}}} \newcommand {\tdplotsetpolarplotrange }[4]{\pgfmathsetmacro {\tdplotlowerphi }{#3} \pgfmathsetmacro {\tdplotupperphi }{#4} \pgfmathsetmacro {\tdplotlowertheta }{#1} \pgfmathsetmacro {\tdplotuppertheta }{#2} } \newcommand {\tdplotresetpolarplotrange }[0]{\pgfmathsetmacro {\tdplotlowerphi }{0} \pgfmathsetmacro {\tdplotupperphi }{360} \pgfmathsetmacro {\tdplotlowertheta }{0} \pgfmathsetmacro {\tdplotuppertheta }{180} } \newcommand {\tdplotgetpolarcoords }[3]{\pgfmathsetmacro {\vxcalc }{#1} \pgfmathsetmacro {\vycalc }{#2} \pgfmathsetmacro {\vzcalc }{#3} \pgfmathsetmacro {\vcalc }{ sqrt((\vxcalc )^2 + (\vycalc )^2 + (\vzcalc )^2) } \par \pgfmathsetmacro {\vxycalc }{ sqrt((\vxcalc )^2 + (\vycalc )^2) } \par \pgfmathsetmacro {\tdplotrestheta }{asin(\vxycalc /\vcalc )} \pgfmathparse {\vzcalc < 0} \ifthenelse {\equal {\pgfmathresult }{1}}{\pgfmathsetmacro {\tdplotrestheta }{180 - \tdplotrestheta } } {} \ifthenelse {\equal {\vxcalc }{0.0}}{\pgfmathparse {\vycalc < 0} \ifthenelse {\equal {\pgfmathresult }{1}}{\pgfmathsetmacro {\tdplotresphi }{270} } {\pgfmathparse {\vycalc > 0} \ifthenelse {\equal {\pgfmathresult }{1}}{\pgfmathsetmacro {\tdplotresphi }{90} } {\pgfmathsetmacro {\tdplotresphi }{0} } } } {\pgfmathsetmacro {\tdplotresphi }{atan(\vycalc /\vxcalc )} \pgfmathparse {\vxcalc < 0} \ifthenelse {\equal {\pgfmathresult }{1}}{\pgfmathsetmacro {\tdplotresphi }{\tdplotresphi +180} } { } \par \pgfmathparse {\tdplotresphi < 0} \ifthenelse {\equal {\pgfmathresult }{1}}{\pgfmathsetmacro {\tdplotresphi }{\tdplotresphi +360} } {} } } \newcommand {\textscale }[2]{\leavevmode \begingroup \relscale {#1}#2\endgroup } \newcommand {\officialeuro }[0]{{\fontencoding {U}\fontfamily {eurosym}\selectfont {}e}} \newcommand {\eurobars }[0]{{\fontencoding {U}\fontfamily {eurosym}\selectfont {}A}} \newcommand {\eurobarsnarrow }[0]{{\fontencoding {U}\fontfamily {eurosym}\selectfont {}B}} \newcommand {\eurobarswide }[0]{{\fontencoding {U}\fontfamily {eurosym}\selectfont {}C}} \newcommand {\p }[0]{} \newcommand {\captionnewline }[0]{\\\relax } \newcommand {\memcaptioninfo }[4]{} \newcommand {\captiongroup }[0]{\setcaptiontype } \newcommand {\LTcaptype }[0]{table} \newcommand {\showtodonotes }[0]{disable} \newcommand {\todo }[1]{\typeout {TODO #1}} \newcommand {\tcbpkgprefix }[0]{} \newcommand {\blue }[1]{{\color {blue}#1}} \newcommand {\red }[1]{{\color {red}#1}} \newcommand {\CancelColor }[0]{\color {xmaccent!50!black}} \newcommand {\important }[1]{\ensuremath {\fcolorbox {black}{white}{$#1$}}} \newcommand {\pdfnl }[0]{} \newcommand {\handoutnl }[0]{} \newcommand {\importantcell }[1]{\ensuremath {#1}} \newcommand {\xmPlotsColor }[0]{ \pgfplotsset { plot1/.style={darkgray,no marks,samples=100}, plot2/.style={lightgray,no marks,samples=100}, plotresult/.style={blue,no marks,samples=100}, plotblue/.style={blue,no marks,samples=100}, plotred/.style={red,no marks,samples=100}, plotgreen/.style={green,no marks,samples=100}, plotpurple/.style={purple,no marks,samples=100} } } \newcommand {\xmPlotsBlackWhite }[0]{ \pgfplotsset { plot1/.style={black,loosely dashed,no marks,samples=100}, plot2/.style={black,loosely dotted,no marks,samples=100}, plotresult/.style={black,no marks,samples=100}, plotblue/.style={black,no marks,samples=100}, plotred/.style={black,dotted,no marks,samples=100}, plotgreen/.style={black,dashed,no marks,samples=100}, plotpurple/.style={black,dashdotted,no marks,samples=100} } } \newcommand {\xmPlotsColorAndStyle }[0]{ \pgfplotsset { plot1/.style={darkgray,no marks,samples=100}, plot2/.style={lightgray,no marks,samples=100}, plotresult/.style={blue,no marks,samples=100}, plotblue/.style={xmblue,no marks,samples=100}, plotred/.style={xmred,dashed,thick,no marks,samples=100}, plotgreen/.style={xmgreen,dotted,very thick,no marks,samples=100}, plotpurple/.style={purple,no marks,samples=100} } } \newcommand {\geqnoslant }[0]{\geq } \newcommand {\geq }[0]{\geqslant } \newcommand {\leqnoslant }[0]{\leq } \newcommand {\leq }[0]{\leqslant } \newcommand {\emph }[1]{\textit {#1}} \newcommand {\ds }[0]{\displaystyle } \newcommand {\ts }[0]{\textstyle } \newcommand {\bron }[1]{\begin {scriptsize} \emph {#1} \end {scriptsize}} \newcommand {\R }[0]{\ensuremath {\mathbb {R}}} \newcommand {\Rnul }[0]{\ensuremath {\mathbb {R}_0}} \newcommand {\Reen }[0]{\ensuremath {\mathbb {R}\setminus \{1\}}} \newcommand {\Rnuleen }[0]{\ensuremath {\mathbb {R}\setminus \{0,1\}}} \newcommand {\Rplus }[0]{\ensuremath {\mathbb {R}^+}} \newcommand {\Rmin }[0]{\ensuremath {\mathbb {R}^-}} \newcommand {\Rnulplus }[0]{\ensuremath {\mathbb {R}_0^+}} \newcommand {\Rnulmin }[0]{\ensuremath {\mathbb {R}_0^-}} \newcommand {\Rnuleenplus }[0]{\ensuremath {\mathbb {R}^+\setminus \{0,1\}}} \newcommand {\N }[0]{\ensuremath {\mathbb {N}}} \newcommand {\Nnul }[0]{\ensuremath {\mathbb {N}_0}} \newcommand {\Z }[0]{\ensuremath {\mathbb {Z}}} \newcommand {\Znul }[0]{\ensuremath {\mathbb {Z}_0}} \newcommand {\Zplus }[0]{\ensuremath {\mathbb {Z}^+}} \newcommand {\Zmin }[0]{\ensuremath {\mathbb {Z}^-}} \newcommand {\Znulplus }[0]{\ensuremath {\mathbb {Z}_0^+}} \newcommand {\Znulmin }[0]{\ensuremath {\mathbb {Z}_0^-}} \newcommand {\C }[0]{\ensuremath {\mathbb {C}}} \newcommand {\Cnul }[0]{\ensuremath {\mathbb {C}_0}} \newcommand {\Cplus }[0]{\ensuremath {\mathbb {C}^+}} \newcommand {\Cmin }[0]{\ensuremath {\mathbb {C}^-}} \newcommand {\Cnulplus }[0]{\ensuremath {\mathbb {C}_0^+}} \newcommand {\Cnulmin }[0]{\ensuremath {\mathbb {C}_0^-}} \newcommand {\Q }[0]{\ensuremath {\mathbb {Q}}} \newcommand {\Qnul }[0]{\ensuremath {\mathbb {Q}_0}} \newcommand {\Qplus }[0]{\ensuremath {\mathbb {Q}^+}} \newcommand {\Qmin }[0]{\ensuremath {\mathbb {Q}^-}} \newcommand {\Qnulplus }[0]{\ensuremath {\mathbb {Q}_0^+}} \newcommand {\Qnulmin }[0]{\ensuremath {\mathbb {Q}_0^-}} \newcommand {\perdef }[0]{\overset {\mathrm {def}}{=}} \newcommand {\pernot }[0]{\overset {\mathrm {notatie}}{=}} \newcommand {\perinderdaad }[0]{\overset {!}{=}} \newcommand {\perhaps }[0]{\overset {?}{=}} \newcommand {\degree }[0]{^\circ } \DeclareMathOperator {\dom }{dom} \DeclareMathOperator {\codom }{codom} \DeclareMathOperator {\bld }{bld} \DeclareMathOperator {\graf }{graf} \DeclareMathOperator {\rico }{rico} \DeclareMathOperator {\co }{co} \DeclareMathOperator {\gr }{gr} \DeclareMathOperator {\bgsin }{bgsin} \DeclareMathOperator {\bgcos }{bgcos} \DeclareMathOperator {\bgtan }{bgtan} \DeclareMathOperator {\bgcot }{bgcot} \DeclareMathOperator {\bgsinh }{bgsinh} \DeclareMathOperator {\bgcosh }{bgcosh} \DeclareMathOperator {\bgtanh }{bgtanh} \DeclareMathOperator {\bgcoth }{bgcoth} \newcommand {\d }[0]{\mathrm {d}} \newcommand {\dx }[0]{\d x} \newcommand {\dd }[1]{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}#1}} \newcommand {\ddx }[0]{\dd {x}} \newcommand {\afg }[1]{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \left (#1\right ) } \newcommand {\xmshortabstract }[0]{} \newcommand {\theabstract }[0]{} \newcommand {\xmopje }[1]{\iftoggle {showxmopje}{#1}{}} \newcommand {\formulevb }[2]{ {\centering \par \begin {xmdiv}{xmformulevb} \begin {tabular}{lcl} \important {#1} & & {$#2$} \end {tabular} \end {xmdiv} } } \newcommand {\xmcolorbox }[2]{ \HCode {\Hnewline <div class="xmcolorbox">\Hnewline }#2\HCode {\Hnewline </div>\Hnewline } } \newcommand {\xmopmerking }[1]{ \HCode {\Hnewline <div class="xmopmerking">\Hnewline }#1\HCode {\Hnewline </div>\Hnewline } } \newcommand {\proofname }[0]{Bewijs} \newcommand {\xmonlineChoice }[1]{\pdfOnly {\wordchoicegiventrue }\wordChoice {#1}\pdfOnly {\wordchoicegivenfalse }} \newcommand {\onlineChoice }[1]{\pdfOnly {\wordchoicegiventrue }\wordChoice {#1}\pdfOnly {\wordchoicegivenfalse }} \newcommand {\TJa }[0]{\nlentext { Ja }{ Yes }} \newcommand {\TNee }[0]{\nlentext { Nee }{ No }} \newcommand {\TJuist }[0]{\nlentext { Juist }{ True }} \newcommand {\TFout }[0]{\nlentext { Fout }{ False }} \newcommand {\choiceTrue }[0]{{\wordChoice {\choice [correct]{\TJuist }\choice {\TFout }}}} \newcommand {\choiceFalse }[0]{{\wordChoice {\choice {\TJuist }\choice [correct]{\TFout }}}} \newcommand {\choiceYes }[0]{{\wordChoice {\choice [correct]{\TJa }\choice {\TNee }}}} \newcommand {\choiceNo }[0]{{\wordChoice {\choice {\TJa }\choice [correct]{\TNee }}}} \newcommand {\choiceEen }[0]{{\wordChoice {\choice [correct]{een }\choice {geen }}}} \newcommand {\choiceGeen }[0]{{\wordChoice {\choice {een }\choice [correct]{geen }}}} \newcommand {\choiceminimumverticalsize }[0]{\vphantom {$\tfrac {2}{2}$}} \newcommand {\setchoicedefanswer }[0]{ \ifdefined \HCode \else \let \inlinechoice \inlinechoicedefanswer \fi } \newcommand {\xmsection }[0]{\subsection } \newcommand {\xmsubsection }[0]{\subsubsection } \newcommand {\activitychapter }[1]{ \typeout {ACTIVITYCHAPTER #1} \chapterstyle \activity {#1} } \newcommand {\activitysection }[1]{ \typeout {ACTIVITYSECTION #1} \sectionstyle \activity {#1} } \newcommand {\practicesection }[1]{ \typeout {PRACTICESECTION #1} \sectionstyle \activity {#1} } \newcommand {\hypertarget }[1]{\HCode {<a class="ximera-label" id="#1"></a>}} \newcommand {\hyperlink }[2]{\HCode {<a class="reference reference-keeptext" href="\##1">}#2\HCode {</a>}} \newcommand {\figurename }[0]{Figuur} \newcommand {\tablename }[0]{Tabel} \newcommand {\printFull }[0]{ \hintstrue \handoutfalse \toggletrue {showonline} } \newcommand {\onlyOnline }[1]{\ifdefined \HCode #1\fi } \newcommand {\nl }[0]{\Hnewline } \newcommand {\basicOnly }[0]{} \newcommand {\basicSkip }[0]{} \newcommand {\tab }[0]{\quad } \newcommand {\instructorNotes }[0]{\setbox 0\vbox \bgroup } \newcommand {\nlen }[2]{#1} \newcommand {\nlentext }[2]{\text {#1}} \newcommand {\nlentextbf }[2]{\textbf {#1}} \newcommand {\TWaar }[0]{\nlentext { Waar }{ True }} \newcommand {\TOnwaar }[0]{\nlentext { Vals }{ False }} \newcommand {\Ten }[0]{\nlentext { en }{ and }} \newcommand {\Tof }[0]{\nlentext { of }{ or }} \newcommand {\Tdus }[0]{\nlentext { dus }{ so }} \newcommand {\Tendus }[0]{\nlentext { en dus }{ and thus }} \newcommand {\Tvooralle }[0]{\nlentext { voor alle }{ for all }} \newcommand {\Took }[0]{\nlentext { ook }{ also }} \newcommand {\Tals }[0]{\nlentext { als }{ when }} \newcommand {\Twant }[0]{\nlentext { want }{ as }} \newcommand {\Tmaal }[0]{\nlentext { maal }{ times }} \newcommand {\Toptellen }[0]{\nlentext { optellen }{ add }} \newcommand {\Tde }[0]{\nlentext { de }{ the }} \newcommand {\Thet }[0]{\nlentext { het }{ the }} \newcommand {\Tis }[0]{\nlentext { is }{ is }} \newcommand {\Tmet }[0]{\nlentext { met }{ where }} \newcommand {\Tnooit }[0]{\nlentext { nooit }{ never }} \newcommand {\Tmaar }[0]{\nlentext { maar }{ but }} \newcommand {\Tniet }[0]{\nlentext { niet }{ not }} \newcommand {\Tuit }[0]{\nlentext { uit }{ from }} \newcommand {\Ttov }[0]{\nlentext { t.o.v. }{ w.r.t. }} \newcommand {\Tzodat }[0]{\nlentext { zodat }{ such that }} \newcommand {\Tdeth }[0]{\nlentext {de }{th }} \newcommand {\Tomdat }[0]{\nlentext {omdat }{because }} \newcommand {\Im }[1]{\text {Im}#1} \newcommand {\Re }[1]{\text {Re}#1} \newcommand {\xmdivEnvironmentStart }[3]{\ifdefined \HCode \HCode {\Hnewline <div class="#2">}\fi \problemEnvironmentStart {#1}{#3}} \newcommand {\xmdivEnvironmentEnd }[0]{\problemEnvironmentEnd \ifdefined \HCode \HCode {\Hnewline </div>}\fi } \newcommand {\xmFixFormatLength }[0]{} \newcommand {\xmFixFormatPosition }[0]{l} \newcommand {\declaretranslationfallback }[0]{\declaretranslation {fallback}} \newcommand {\definetranslationfallback }[0]{\definetranslation {fallback}} \newcommand {\redefinetranslationfallback }[0]{\redefinetranslation {fallback}} \newcommand {\addtranslationfallback }[0]{\addtranslation {fallback}} \newcommand {\kader }[1]{\framebox {\begin {minipage}[t]{0.98\textwidth }#1\end {minipage}}} \newcommand {\cleartoleftpage }[0]{\clearpage \ifodd \value {page}\hbox {}\newpage \fi } \newcommand {\xmorganisatienaam }[0]{} \newcommand {\xmcursusnaam }[0]{} \newcommand {\xmafdelingsnaam }[0]{} \newcommand {\xmsource }[0]{ \ifonlineTF { \begin {xmdiv}{xmsource} Gebaseerd op cursus SPC 2021 \end {xmdiv} }{ \renewcommand {\xmorganisatienaam }{{\smaller Gebaseerd op cursus SPC 2021}} } } \newcommand {\usetotcountfile }[1]{\InputIfFileExists {#1}{\message {TotCount inputs file '#1'}}{\PackageWarning {totcount}{File '#1' does not exist!}\message {\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space Ignoring \string \usetotcountfile {#1}.}}} \newcommand {\marginnotetextwidth }[0]{} \newcommand {\marginnotevadjust }[0]{} \newcommand {\marginfont }[0]{} \newcommand {\raggedleftmarginnote }[0]{\raggedleft } \newcommand {\raggedrightmarginnote }[0]{\raggedright } \newcommand {\pt }[1]{\leavevmode \marginnote [\hfill \textbf {/#1}]{\hfill /#1}\addtocounter {totaantal}{#1}} \newcommand {\xmDefaultPrintstyle }[0]{xmPrintstyle.sty} \newcommand {\luastring }[1]{"\luatexluaescapestring {#1}"} \newcommand {\luastringO }[1]{\luastring {\unexpanded \expandafter {#1}}} \newcommand {\luastringN }[1]{\luastring {\unexpanded {#1}}} \newcommand {\RestoreMathJaxEnvironment }[1]{\expandafter \let \csname #1\expandafter \endcsname \csname mathjax-#1\endcsname \expandafter \let \csname end#1\expandafter \endcsname \csname mathjax-end#1\endcsname } \newcommand {\DeclareMicrotypeVariants }[1]{} \newcommand {\DeclareMicrotypeAlias }[2]{} \newcommand {\LoadMicrotypeFile }[1]{} \newcommand {\DeclareMicrotypeFilePrefix }[1]{} \newcommand {\DeclareMicrotypeBabelHook }[2]{} \newcommand {\microtypesetup }[1]{} \newcommand {\microtypecontext }[1]{} \newcommand {\textmicrotypecontext }[2]{#2} \newcommand {\leftprotrusion }[1]{#1} \newcommand {\rightprotrusion }[1]{#1} \newcommand {\noprotrusionifhmode }[0]{} \newcommand {\lsstyle }[0]{} \newcommand {\lslig }[1]{#1} \newcommand {\maketitle }[0]{} \newcommand {\problem }[0]{ } \newcommand {\exercise }[0]{ } \newcommand {\question }[0]{ } \newcommand {\exploration }[0]{ } \newcommand {\ConfigureTheoremEnv }[1]{\renewenvironment {#1}[1][]{\refstepcounter {problem}\ifthenelse {\equal {###1}{}}{}{\HCode {<span class="theorem-like-title">}###1\HCode {</span>}}}{} \ConfigureEnv {#1}{\stepcounter {identification}\ifvmode \IgnorePar \fi \EndP \HCode {<div class="theorem-like problem-environment #1" id="problem\arabic {identification}" titletext=" \GetTranslation {#1}">}}{\ifvmode \IgnorePar \fi \EndP \HCode {</div>}\IgnoreIndent }{}{}} \newcommand {\dialogue }[0]{\begin {description}} \newcommand {\foldable }[0]{\stepcounter {identification}\ifvmode \IgnorePar \fi \EndP \HCode {<div id="foldable\arabic {identification}" class="foldable">}} \newcommand {\unfoldable }[1]{\HCode {<span class="unfoldable">}#1\HCode {</span>}} \newcommand {\selectAll }[0]{\refstepcounter {problem}} \newcommand {\freeResponse }[0]{\refstepcounter {problem}} \newcommand {\javascript }[0]{\NoFonts } \newcommand {\sageCell }[0]{\NoFonts } \newcommand {\sageOutput }[0]{\NoFonts } \newcommand {\sagesilent }[0]{\NoFonts } \newcommand {\ungraded }[0]{\ifvmode \IgnorePar \fi \EndP \HCode {<div class="ungraded">}\IgnoreIndent } \newcommand {\accordion }[0]{\ifvmode \IgnorePar \fi \EndP \HCode {<div class="accordion">} } \newcommand {\expandable }[2]{\stepcounter {identification}\ifvmode \IgnorePar \fi \EndP \HCode {<div class="accordion">\Hnewline }\HCode {<h3 class="#1">}#2\HCode {</h3>\Hnewline }\HCode {<div id="accordion-item\arabic {identification}" class="accordion-item #1-content">\Hnewline } } \newcommand {\paragraph }[1]{\HCode {<span class="paragraphHead">}#1\HCode {</span>}\par \IgnorePar } \newcommand {\subparagraph }[1]{\HCode {<span class="subparagraphHead">}#1\HCode {</span>}\par \IgnorePar } \newcommand {\outcome }[1]{\HCode {<span class="learning-outcome">#1</span>} } \newcommand {\javascriptCode }[0]{\NoFonts } \newcommand {\ref }[1]{\HCode {<a class="reference" href="\##1">#1</a>}}$

Gebaseerd op cursus SPC 2021

Verbeteringen/fouten/onduidelijkheden/...?

Deze open-source cursus is in ontwikkeling. De aanbevelingen van leerlingen om dit materiaal te verbeteren zijn erg welkom via info@wiskunde.opmaat.org
Dit kan gaan over:

Een voorbeeld dat onduidelijk is.
Onnauwkeurigheden, schrijffouten, ...
Een tussenstap die beter uitgelegd moet worden.
Een uitleg die je op youtube, wikipedia of aan de kersttafel gevonden hebt die ophelderend was.
...

Wanneer de snelheid van een voorwerpt verandert in de tijd, heeft het een versnelling. Een synoniem voor het woord versnelling is acceleratie, dat het symbool $\vec {a}$ van deze grootheid verklaart. Acceleratie is soms handiger om te gebruiken, dat vermijdt verwarring met het begrip snelheid, wat helemaal niet hetzelfde is!

\[ \begin{array}{l} \vec {v} = \text {velocity = vitesse = snelheid} \\ \vec {a} = \text {acceleration = acceleratie = versnelling = snelheids}\emph {verandering} \end{array} \]

De vector $\vec {a}$ grijpt aan op het versnellend voorwerp en beschrijft de bewegingsverandering.

De gemiddelde versnelling $\vec {a}$ tussen twee tijdstippen wordt gedefinieerd als

\[ \vec {a}=\frac {\Delta \vec {v}}{\Delta t}=\frac {\vec {v}_2-\vec {v}_1}{t_2-t_1} \]

De eenheid van versnelling is meter per seconde, per seconde – wat meter per seconde in het kwadraat geeft $[a]=$$\mathrm {m}/\mathrm {s}^{2}$.

Als de snelheid van een voorwerp wijzigt, dan wijzigt ook de snelheidsvector. Afhankelijk van welk kenmerk van de snelheidsvector (en dus ook van de beweging) verandert, maakt men een onderscheid tussen twee verschillende soorten versnellingen:

(Werkdefinitie). Als enkel de grootte van de snelheidsvector verandert, spreekt men over een tangentiële versnelling $\vec {a_t}$. In dit geval is de versnellingsvector tangentieel of evenwijdig met de snelheidsvector. Dit komt voor bij eendimensionale bewegingen. Hierbij blijft de richting van de beweging onveranderd.

Een verticaal omhoog geworpen basketbal versnelt tangentieel, de bal gaat eerst trager en trager en na het hoogste punt sneller en sneller. Enkel de grootte van de snelheid verandert. De richting niet, want de bal blijft verticaal bewegen. De versnellingsvector staat evenwijdig met de snelheidsvector, dit volgt uit de constructie van $\Delta \vec {v}$. Wegens de definitie van de gemiddelde versnelling staan $\vec {a}$ en $\Delta \vec {v}$ in deze situatie in dezelfde richting en zin.

Figuur 1: Snelheid en versnelling bij een verticale worp

Een auto trekt op een rechte weg op met een versnelling van $3$ $\mathrm {m}/\mathrm {s}^{2}$. Dit wil zeggen dat per seconde de grootte van zijn snelheid met $3$ $\mathrm {m}\,\mathrm {s}^{-1}$ verandert (of in dit geval toeneemt).

Als een basketbal botst op de grond verandert de snelheidsvector ook van zin. Maak een tekening met vectoren net voor en na de bots.

Waarom is dit een tangentiële versnelling?

De snelheidsvector is enkel in de grootte en zin gewijzigd.

(Werkdefinitie). Als enkel de richting van de snelheidsvector verandert, spreekt men over een normale versnelling $\vec {a_n}$. In dit geval staat de versnellingsvector normaal of loodrecht op de snelheidsvector. Dit komt voor bij tweedimensionale cirkelbewegingen waarbij de grootte van de snelheid onveranderd blijft.

De auto in onderstaande afbeeldingen rijdt op een rotonde. De grootte van de snelheid is constant, maar de richting van de snelheid wijzigt. De auto ondergaat een normale versnelling.

[Picture]

Een combinatie van de twee types versnelling is ook mogelijk, bijvoorbeeld bij een schuin geworpen basketbal. Ze worden dan gegeven door de vectorcomponenten van de versnelling volgens de snelheid en loodrecht op de snelheid.

Gemiddelde versnelling bij eendimensionale bewegingen

Bij eendimensionale bewegingen wordt de gemiddelde versnelling $\overline {a}$ gedefinieerd als

\[ \overline {a}=\frac {\Delta v}{\Delta t}=\frac {v_2-v_1}{t_2-t_1} \]

Ogenblikkelijke versnelling bij eendimensionale bewegingen

De gemiddelde versnelling $\overline {a}$ geeft de verandering in snelheid tussen twee tijdstippen $t_1$ en $t_2$. Om de ogenblikkelijke versnelling $a$ op één tijdstip $t$ te bepalen wordt – net zoals bij de ogenblikkelijke snelheid – gebruik gemaakt van de afgeleide.

De ogenblikkelijke versnelling wordt gedefinieerd als de afgeleide van de snelheidsfunctie $v(t)$:

\[ a=\lim _{t\to t_0}\frac {v(t)-v(t_0)}{t-t_0} = \frac {dv}{dt}=\frac {d^2x}{dt^2} \]

De notatie met een accent $a(t)=v'(t)$ of $a=v'$ wordt op dezelfde manier als in de wiskunde gebruikt. $a(t)$ is een functie die op elk moment de versnelling geeft.

Ogenblikkelijke versnelling bij tweedimensionale bewegingen

In twee dimensies kan de snelheid naast een verandering van grootte ook een verandering van richting hebben. Om die te beschrijven is een vector het aangewezen object.

De versnellingsvector $\vec {a}$ van een lichaam wordt gedefinieerd als de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd:

\[ \vec {a}(t) = \frac {d\vec {v}(t)}{dt}, \]

en kan worden opgesplitst in versnellingscomponenten $a_x$ en $a_y$:

\[ \vec {a} = \frac {d\vec {v}}{dt} = \frac {d}{dt}(v_x \cdot \vec {e}_x + v_y \cdot \vec {e}_y) = \frac {dv_x}{dt} \cdot \vec {e}_x + \frac {dv_y}{dt} \cdot \vec {e}_y = a_x\cdot \vec {e}_x + a_y\cdot \vec {e}_y \]

De grootte van de versnelling wordt genoteerd met het symbool $a$ en is gelijk aan

\[ a = \| \vec {a}\| = \sqrt {a_x^2 + a_y^2} \]

Figuur 2: Een versnellingsvector $\vec {a}$

Het begrip versnelling in de fysica heeft niet altijd dezelfde betekenis als in de volksmond.

In de volksmond:

: versnelling = vergroten van snelheid
: vertraging = verkleinen van de snelheid
: bocht maken = richtingsverandering van de snelheid

In de fysica:

: versnelling = verandering van snelheid in eender welk opzicht

De versnelling in de fysica is de grootheid $\vec {a}$ zoals die hierboven gedefinieerd is. We spreken van een vertraging wanneer de grootte van de snelheid afneemt. Dat kan voorkomen wanneer de snelheid (wat een vector is) en de versnelling (wat dus ook een vector is) een tegengestelde zin hebben. Hebben ze dezelfde zin, dan versnelt het voorwerp.

Wagens en fietsen hebben ook versnellingen. Weet dat deze versnellingen nauwelijks iets te maken hebben met het fysisch begrip versnelling. Een auto die in derde versnelling met een constante snelheid van 50 km/h rechtdoor rijdt, versnelt bijvoorbeeld helemaal niet. Zijn versnelling is 0 m/s². Een juistere naam om de standen van de versnellingspook of de ketting weer te geven had eigenlijk “snelheid” geweest omdat de versnelling waarin je rijdt veel meer zegt over welke snelheid je hebt. Kleine versnellingen gebruik je voor kleine snelheden en grote versnellingen voor grote snelheden. Onze Franstalige zuiderburen hebben daar een logischere naam voor, namelijk: “vitesse” (= snelheid). Probeer dus de begrippen snelheid en versnelling niet door elkaar te gooien, want ze hebben een heel andere betekenis! Het is alsof je zou zeggen dat positie en snelheid hetzelfde is!

Verklaar onderstaande meme.