Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
Deze open-source cursus is in ontwikkeling. De aanbevelingen van leerlingen om
dit materiaal te verbeteren zijn erg welkom via info@wiskunde.opmaat.org Dit kan gaan over:
Een voorbeeld dat onduidelijk is.
Onnauwkeurigheden, schrijffouten, ...
Een tussenstap die beter uitgelegd moet worden.
Een uitleg die je op youtube, wikipedia of aan de kersttafel gevonden hebt
die ophelderend was.
...
Kinematica(Het woord ‘kinematica’ is net zoals ‘cinema’ en ‘kinesist’ afgeleid
van het Griekse \(\kappa \iota \nu \eta \mu \alpha \) dat ‘beweging’ betekent.) is het onderdeel van de fysica dat de
bewegingen van voorwerpen beschrijft, zoals vallende appels, rollende knikkers
of rijdende auto’s, maar ook de beweging van de maan rond de aarde of
de aarde rond de zon. De kinematica beperkt zich tot het beschrijven van
de beweging, zonder de onderliggende oorzaak te onderzoeken. De redenen
waarom iets op een bepaalde manier beweegt worden verder behandeld in de
dynamica.
In dit hoofdstuk worden eerst de basisbegrippen en basisgrootheden van de
kinematica behandeld, namelijk de vectoriële grootheden positie, snelheid en
versnelling, hun verbanden onderling en hun afhankelijkheid van de scalaire
grootheid tijd. Vervolgens gebruiken we die begrippen om enkele concrete soorten
bewegingen te bestuderen (rechtlijnige, cirkelvormige, snelle, trage, versnellende en
vertragende, enzovoort).
Als een appel van een boom valt, kan je allerlei vragen stellen over deze
valbeweging:
Hoe ver valt de appel van de boom?
Hoe lang duurt het voor de appel de grond raakt?
Hoe snel valt de appel? Is die snelheid altijd dezelfde, of valt een appel
altijd maar sneller?
Als de snelheid van de appel verandert, hoe groot is ze dan bij het begin
van de val? En na één seconde? En op het moment dat de appel de grond
raakt?
De kinematica vraagt zich niet af waarom een appel naar beneden valt, en
bijvoorbeeld niet naar boven. In het latere onderdeel dynamica worden krachten
bestudeerd die de bewegingen beïnvloeden. We zullen zien dat krachten eigenlijk
alleen maar de veranderingen van bewegingen veroorzaken.
Als je een krijtje gooit naar het bord, kan je je daarover allerlei vragen stellen:
Vliegt dat krijtje in een rechte lijn naar het bord? Of eerder in een
cirkelbaan? Of misschien een ellips? Of nog een andere vorm?
Hoe snel vliegt het krijtje? Vertraagt het tijdens zijn vlucht, of versnelt
het eerder omdat het ook wat naar beneden valt?
Als de leerkracht het laatste stukje van de baan van het krijtje nauwkeurig
heeft geregistreerd, kan hij dan weten welke leerling gegooid heeft?
Vliegen lange en korte krijtjes even snel? Vliegen witte en rode krijtjes
even snel? Vliegen krijtjes met een scherpe punt sneller?
Mag je eigenlijk wel met krijtjes gooien?
Als je snel genoeg gooit, en opzettelijk het bord mist, is het dan theoretisch
mogelijk om het krijtje in een baan om de aarde te krijgen? Hoe snel zou
je moeten gooien?
Sommige van deze vragen worden behandeld in de kinematica, andere in de
dynamica. Één vraag past natuurlijk beter binnen een cursus zingeving en ethiek,
maar dat had je wel door...
˙
Denkvraag 1
Een buffel tracht loodrecht een \(300\) \(\mathrm {m}\) brede rivier over te steken met een snelheid van \(1\mathord {,}00\) \(\mathrm {m}/\mathrm {s}\).
De stroomsnelheid bedraagt \(1\mathord {,}50\) \(\mathrm {m}/\mathrm {s}\).
(a)
In welke tijd bereikt de buffel de overzijde?
(b)
Hoever drijft de buffel af?
(c)
Met welke snelheid beweegt de buffel voor iemand die op de oever staat?
(d)
Waarom is het antwoord op de vorige vraag niet simpelweg \(\SI {1,00}{m/s}+\SI {1,50}{m/s}=\SI {2,50}{m/s}\)?
(a)
De buffel bereikt de overzijde van de rivier na een tijd van \(300\) \(\mathrm {s}\). Of het water
nu al dan niet stroomt, heeft geen invloed op de snelheid waarmee de buffel
ten opzichte van het water naar de overkant gaat. Beschouw (een stuk van)
de rivier als een bassin waarin de buffel zwemt, waarbij dat bassin dan zelf
ten opzichte van de oever beweegt. De buffel moet dus een afstand van \(300\) \(\mathrm {m}\)
afleggen met een snelheid \(1\mathord {,}00\) \(\mathrm {m}/\mathrm {s}\), waar hij dus \(300\) \(\mathrm {s}\) (of 5 minuten) voor nodig heeft.
(b)
De buffel drijft \(450\) \(\mathrm {m}\) af; hij komt die afstand verderop langs de oever aan de
overkant aan. Zolang dat de buffel aan het zwemmen is, gaat de rivier
namelijk met hem aan de haal en neemt hem mee stroomafwaarts. De
afgelegde afstand volgens de richting van de rivier is dan \(\SI {1,50}{m/s}\cdot \SI {300}{s}=\SI {450}{m}\).
(c)
Voor iemand die op de oever staat, beweegt de buffel met een snelheid van \(1\mathord {,}8\) \(\mathrm {m}/\mathrm {s}\).
Omdat in een bepaalde tijdsspanne \(\Delta t\) de buffel t.o.v. het water een afstand \(\SI {1,00}{m/s}\cdot \Delta t\) heeft
gezwommen en het water hem in diezelfde tijd over een afstand \(\SI {1,50}{m/s}\cdot \Delta t\) heeft
meegenomen, heeft de buffel in vogelvlucht, met de stelling van Pythagoras, een
afstand van \(\sqrt {(\SI {1,00}{m/s}\cdot \Delta t)^2+(\SI {1,50}{m/s}\cdot \Delta t)^2}\) afgelegd. Die afstand in de gegeven tijdsspanne geeft dan de
snelheid van de buffel ten opzichte van de over:
Hierbij hebben we \((\Delta t)^2\) onder de
wortel afgezonderd, uit de wortel gehaald waarbij het kwadraat verdween
en de tijdsspanne in teller en noemer tegen mekaar hebben kunnen
wegstrepen.
(d)
De totale snelheid van de buffel is niet gelijk aan de optelling van de
afzonderlijke snelheden omdat die snelheden van toepassing zijn op
verschillende richtingen.
˙
Denkvraag 2
Vanuit de laadbak van een auto gooit een man een zware medicine bal omhoog. Een
klein beetje later vangt hij die bal terug op. Zie het volgende filmpje voor de reële
situatie:
(a)
Beschrijf de baan van de bal zoals die eruit ziet voor iemand die naar de
rijdende auto kijkt.
(b)
Beschrijf de baan van de bal zoals die eruit ziet voor de werper in de auto.
(c)
Schets de snelheidsvector van de bal voor het moment dat de bal op zijn
hoogste punt is, voor een waarnemer die naar de rijdende auto kijkt.
(d)
Doe hetzelfde voor de snelheidsvector van de bal op een moment dat hij
voorbij zijn hoogste punt is.
(a)
De baan van de bal ziet er gebogen uit, waarbij de bal eerst omhoog en
dan terug omlaag gaat.
(b)
Ten opzichte van de werper in de auto gaat de bal enkel naar boven en
naar beneden. Als we ervan uitgaan dat de wrijving te verwaarlozen is, is
de baan van de bal een verticaal lijnstuk.
(c)
Voor een waarnemer buiten de auto die stilstaat, is de snelheidsvector van
de bal op het moment dat hij zich op zijn hoogste punt bevindt, horizontaal
gericht. In verticale zin keert de bal van bewegingszin om zodat hij in deze
richting geen snelheid heeft maar in horizontale zin beweegt de bal nog
altijd met de auto mee.
(d)
De snelheidsvector maakt nu een hoek met de horizontale en is groter dan
de snelheid op het hoogste punt. Naast een horizontale component heeft
de snelheid nu ook een verticaal naar beneden gerichte component omdat
de bal ook terug naar beneden aan het vallen is.
˙
Uitweiding 1: Een universiteitscollege over deze leerstof
Semester 1