Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
Deze open-source cursus is in ontwikkeling. De aanbevelingen van leerlingen om
dit materiaal te verbeteren zijn erg welkom via info@wiskunde.opmaat.org Dit kan gaan over:
Een voorbeeld dat onduidelijk is.
Onnauwkeurigheden, schrijffouten, ...
Een tussenstap die beter uitgelegd moet worden.
Een uitleg die je op youtube, wikipedia of aan de kersttafel gevonden hebt
die ophelderend was.
...
Onze perceptie leert dat zwaardere lichamen sneller vallen dan lichtere. Een pluim en
een steen komen in regel niet op hetzelfde moment op de grond terecht. Toch blijkt
deze intuïtie niet te kloppen. In het jaar 1586 stond een wetenschapper uit Brugge
op de Nieuwe Kerk van Delft. Simon Stevin(Het woord mathematica vindt zijn
etymologische stam in het Griekse \(\mu \alpha \theta \eta \mu \alpha \tau \iota \kappa \eta \), wat in ons alfabet overeenkomt met mathēmatiké.
Vandaag merk je deze invloed in het Franse mathématiques, het Spaanse
matemáticas, het Turkse matematik of het Zweedse matte. Dat men in het
Nederlandse taalgebied over wiskunde spreekt, komt door Simon Stevin.1)
liet vanop de kerktoren twee loden bollen met een verschillende massa vallen en stelde
vast dat ze op hetzelfde moment de grond raakten.
Figuur 1: Experimenteel bekomen grafieken van een verticale worp waarbij de
as naar beneden is georiënteerd.
In vacuüm – waar voorwerpen geen luchtweerstand ondervinden – blijkt de massa
geen rol te spelen bij de constante versnelling die de voorwerpen krijgen: alle
voorwerpen vallen met dezelfde versnelling! Met lode bollen kon Simon Stevin het
effect van de luchtweerstand uitschakelen. De theoretische verklaring voor dit
experiment hoort thuis in de dynamica. In de kinematica wordt enkel de beweging
beschreven. Omdat de valversnelling constant is, heb je hier simpelweg met een
EVRB te maken.
Strikt genomen verschilt de valversnelling van plaats tot plaats op de aarde, maar
voor het gemak nemen wij in vraagstukken de waarde
\[g=9,81\rm \,m/s^2.\]
Omdat de verticale worp een
EVRB is, kunnen we de formules voor de plaatsfunctie en snelheidsfunctie gebruiken
om een valbeweging te beschrijven. Voor de versnelling \(a\) nemen we dan \(a=g\) of \(a=-g\) al
naargelang de oriëntatie van de coördinaatsas.
Quick Question 1
Als je een tennisbal in de lucht gooit, op welk(e) moment(en) is de versnelling
\(0\)? Op welk(e) moment(en) is de snelheid \(0\)?
Quick Question 2
Leg de fysische betekenis uit indien de zin van de snelheidsvector en
versnellingsvector tegengesteld zijn. Wat indien ze dezelfde zin hebben?
Simon Stevin laat van de boord van een schip een loden bol in het water vallen. De
boord
bevindt zich \(4\) \(\mathrm {m}\) boven het wateroppervlak. De loden bol zinkt vervolgens met de
snelheid waarmee hij het water raakte. Er zijn \(6\) \(\mathrm {s}\) tussen het loslaten van de bol en het
raken van de bodem.
Hoe diep is het water?
De beweging is opgebouwd uit twee verschillende soorten bewegingen. Het eerste stuk
is een vrije val, wat een EVRB is. In het tweede stuk (onder water) is de snelheid
constant en is er dus geen versnelling. In geen geval kunnen we dus de formules
voor een EVRB op het geheel toepassen. Die zijn immers afgeleid voor een
beweging waar de versnelling (altijd, gedurende de hele beweging) constant is.
Omdat we weten hoe ver de bol moet vallen voordat hij het wateroppervlak bereikt,
kunnen we zowel de tijd die de bol hiervoor nodig heeft als de snelheid waarmee de
bol het wateroppervlak raakt, bepalen. We kiezen een as naar beneden zodat – omdat
de snelheid in deze richting toeneemt – de versnelling positief is en gelijk
aan de valversnelling \(g\) (toch voor het eerste stuk). De beginsnelheid van
de bol is nul omdat hij vanuit rust wordt losgelaten. Voor de tijd vinden
we:
Met de tijd (We zouden de tijd met het gevonden formuletje kunnen uitrekenen
en met het getalletje dat we vinden verder rekenen. Maar met het formuletje verder
werken – algebraïsch of symbolisch – is toch o zo veel knapper en van toepassing
voor álle boten en niet enkel voor een boot waarvoor het dek zich \(4,0\) meter boven het
wateroppervlak bevindt. Bovendien is het “echte” fysica omdat je een “model”
uitwerkt en niet een rekensommetje oplost...) kunnen we de snelheid op het
wateroppervlak vinden.
Onder water, in het tweede stuk, beweegt de kogel met deze snelheid gedurende de
resterende tijd: \(6,0\) seconden min de tijd \(t_1\) (tijd_boordschip) die de kogel nodig had om te vallen. De
afstand die de bol onder water aflegt, vinden we met de eenvoudige formuletjes van
een ERB (Opmerking, een ERB is een speciaal geval van een EVRB. Een ERB
heeft als constante versnelling \(a=0\).) . We substitueren ook vergelijkingen (tijd_boordschip) en
(snelheid_boordschip).
Wat is de gemiddelde snelheid van de bol over het hele traject?
De gemiddelde snelheid vinden we door de totale afgelegde weg te delen door de
totale benodigde tijd. Andere formuletjes zoals \(\overline {v}=\frac {v_1+v_2}{2}\) zijn niet van toepassing omdat het
helemaal niet over één EVRB gaat waar dit formuletje geldt omdat de snelheid mooi
lineair toeneemt. Hier gebeurt dat enkel in het eerste stuk en worden de verschillende
snelheden niet even lang aangehouden zodat ze een verschillend aandeel hebben in de
totale benodigde tijd.
