Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
Deze open-source cursus is in ontwikkeling. De aanbevelingen van leerlingen om
dit materiaal te verbeteren zijn erg welkom via info@wiskunde.opmaat.org Dit kan gaan over:
Een voorbeeld dat onduidelijk is.
Onnauwkeurigheden, schrijffouten, ...
Een tussenstap die beter uitgelegd moet worden.
Een uitleg die je op youtube, wikipedia of aan de kersttafel gevonden hebt
die ophelderend was.
...
De verschillende parameters die in de oplossing \(x(t)=A \sin (\omega t + \varphi )\) van de differentiaalvergelijking (opl_diffvgl_ht)
voorkomen, willen we fysisch kunnen interpreteren. We willen hun betekenis kennen.
Het gemakkelijkste is misschien terug te grijpen naar de algemene sinusfunctie. Daar
stond de parameter \(a\) voor de amplitude. Dat is dus hier voor \(A\) niet anders; \(A\) stelt de
amplitude van de trilling voor. Voor de parameter \(b\) hebben we de gelijkheid \(b=\frac {2\pi }{p}\) waarin \(p\)
de periode van de functie is. Omdat onze onafhankelijke variabele de tijd is, is de
fysische interpretatie van \(p\) de tijd van één cyclus – waarvoor we het symbool \(T\)
gebruiken.
Voor de parameter \(\omega \), die we de pulsatie noemen, geldt dus
De pulsatie bepaalt dus de frequentie waarmee de massa trilt. Aangezien voor het
massa-veersysteem geldt dat \(\omega =\sqrt {k/m}\), kunnen we een uitdrukking voor periode en de
frequentie vinden:
De frequentie wordt bepaald door de sterkte van de veer en de grootte van de massa.
Een grotere massa levert een kleinere frequentie op (de traagheid is groter) en een
sterkere veer zorgt voor een grotere frequentie (de massa krijgt een grotere
versnelling). De amplitude speelt blijkbaar geen rol.
De parameter \(\varphi \) is iets lastiger om inzichtelijk te kunnen duiden. Net zoals de
amplitude wordt ze bepaald door de beginvoorwaarden. Zo is de amplitude
afhankelijk van bijvoorbeeld de afstand uit de evenwichtspositie waarop we de massa
vanuit rust loslaten of van de snelheid die we ze bij initiatie van de beweging
meegeven. De parameter \(\varphi \) wordt bepaald door de positie van de massa op het tijdstip \(t=0\).
Immers is \(x_0=x(t=0)=A\sin (\varphi )\). Het argument van de sinus (Het argument van de sinus is hetgeen
waarvan de sinus wordt genomen/hetgeen dat tussen haakjes staat.)\(\omega t+\varphi \) noemen we
ook wel de fase van de trilling zodat \(\varphi \) de beginfase wordt genoemd. De fase
drukken we natuurlijk uit in radialen. De fase bepaalt waar we ons in de cyclus
bevinden.
De beginfase bepaalt dan ook de beginpositie. Zo is bijvoorbeeld de functie maximaal
wanneer het argument \(\pi /2\) is, wat betekent dat de massa op haar maximale uitwijking is.
Is dus de beginfase gelijk aan \(\pi /2\), dan begint de trilling vanuit haar maximale uitwijking.
Een beginfase van \(3\pi /2\) komt overeen met een minimale waarde bij het begin. In figuur beginposbeginfase
zie je verschillende mogelijkheden voor de beginfase, hier weergegeven als
\(\varphi _0\).
Figuren met verschillende beginposities en bijbehorende beginfases.
Figuur 1: Relatie tussen beginpositie en beginfase
Semester 1