Gebaseerd op cursus SPC 2021

Verbeteringen/fouten/onduidelijkheden/...?

Deze open-source cursus is in ontwikkeling. De aanbevelingen van leerlingen om dit materiaal te verbeteren zijn erg welkom via info@wiskunde.opmaat.org
Dit kan gaan over:

  • Een voorbeeld dat onduidelijk is.
  • Onnauwkeurigheden, schrijffouten, ...
  • Een tussenstap die beter uitgelegd moet worden.
  • Een uitleg die je op youtube, wikipedia of aan de kersttafel gevonden hebt die ophelderend was.
  • ...
Welk punt heeft de grootste versnelling: een punt op de buitenrand van een ronddraaiende cd, of een punt op de helft van de straal van een cd die met een tweemaal zo grote hoeksnelheid ronddraait? Toon je antwoord aan.
Een bal wordt in een horizontale richting van de rand van een rotswand gegooid, met beginsnelheid \(v_0\). De hoek die de bewegingsrichting van de bal op een willekeurig moment met de horizontaal maakt, noemen we \(\theta \). Leid een formule af die voor de periode dat de bal onderweg is de hoek \(\theta \) als functie van \(t\) geeft.
Een tennisspeler, die \(9\mathord {,}0\) \(\mathrm {m}\) voor het net staat, slaat een bal in horizontale richting met een snelheid van \(25\) \(\mathrm {m}\,\mathrm {s}^{-1}\). Het racket raakt de bal \(1\mathord {,}8\) \(\mathrm {m}\) boven de grond. De bovenkant van het net is \(1\mathord {,}0\) \(\mathrm {m}\) boven de grond. Vliegt de bal over het net, of er tegenaan?
Een pijl, die horizontaal wordt afgeschoten in het punt \(P\) treft een verticale wand in punt (1). Verdubbelt men de vertreksnelheid van de pijl in het punt P, dan zal de pijl dezelfde wand treffen:
in het punt (1) in het punt (2) in het punt (3) in het punt (4)

We gebruiken de baanvergelijking van de horizontale worp. Voor eenzelfde horizontale afstand \(x\) moeten we immers een nieuwe verticale afstand \(y\) vinden, in functie van een andere beginsnelheid. Als het accent ’ staat voor de nieuwe situatie waarin de beginsnelheid is verdubbeld, dan geldt:
\begin{eqnarray*} y'&=&\frac {g}{2v_0'^2}x^2\\ &=&\frac {g}{2(2v_0)^2}x^2\\ &=&\frac {1}{4}\frac {g}{2v_0^2}x^2\\ &=&\frac {1}{4}y \end{eqnarray*}

De pijl zal dus in punt (3) terechtkomen.

Een puntmassa beschrijft een cirkel met een straal van\(5\mathord {,}0\) \(\mathrm {cm}\) en een periode van \(0\mathord {,}33\) \(\mathrm {s}\). Welke afstand op de cirkel legt deze puntmassa in \(7\mathord {,}0\) \(\mathrm {s}\) af?

Omdat de grootte van de snelheid constant is, is de afgelegde weg over de boog gelijk aan de snelheid vermenigvuldigd met de tijd:
\begin{eqnarray*} s&=&vt\\ &=&r\omega t\\ &=&\frac {2\pi r}{T}t\\ &=&6,7\rm \,m \end{eqnarray*}
Bereken de hoeksnelheid van de aarde om haar as. Bereken de snelheid van een punt van het aardoppervlak:
(a)
aan de evenaar,
(b)
op \(\SI {51}{\degree }\) noorderbreedte.

De hoeksnelheid kunnen we berekenen met de periode van de omwenteling van de aarde, nl. 24 uur, t.t.z. \(86\,400\) \(\mathrm {s}\). Dat geeft
\begin{eqnarray*} \omega =\frac {2\pi }{T}=\frac {2\pi }{\SI {86400}{\second }}=\SI {7,3e-5}{\radian \per \second } \end{eqnarray*}

De snelheid van een punt op het aardoppervlak aan de evenaar vinden we met het formuletje \(v=r\omega \), waarbij \(r\) de straal van de aarde is.

\begin{eqnarray*} v=r_a\omega =\frac {2\pi r_a}{T}=\SI {463}{\meter \per \second }\end{eqnarray*}

Dit is nogal snel, het is namelijk \(1667\) \(\mathrm {km}\,\mathrm {h}^{-1}\).

Op \(\SI {51}{\degree }\) noorderbreedte maken we ook een cirkelbeweging maar nu met een andere straal. De straal is nu de afstand van het punt op het aardoppervlak tot aan de rotatieas van de aarde, zie figuur.

Met elementaire driehoeksmeetkunde vind je deze straal terug als \(r'=r\cos \alpha \). De snelheid vinden we vervolgens op dezelfde manier.
\begin{eqnarray*} v=r'\omega =\frac {2\pi r\cos \alpha }{T}=\SI {291}{\meter \per \second } \end{eqnarray*}

Dit is ook nog snel, nl. \(1048\) \(\mathrm {km}\,\mathrm {h}^{-1}\).

Een auto rijdt door een bocht met een constante snelheid van \(50\) \(\mathrm {km}\,\mathrm {h}^{-1}\). Heeft de auto een andere versnelling wanneer hij diezelfde bocht neemt met een constante snelheid van \(70\) \(\mathrm {km}\,\mathrm {h}^{-1}\)? Licht je antwoord toe.
Als een auto met \(60\) \(\mathrm {km}\,\mathrm {h}^{-1}\) een scherpe bocht neemt, en daarna met dezelfde snelheid een flauwe bocht, is de versnelling dan in beide gevallen gelijk? Leg uit.
Tijdens het trainen van een ruimtevaarder wordt deze in een cirkelvormige beweging gebracht met een zetel, die zich aan het uiteinde van een horizontale arm van \(5\mathord {,}00\) \(\mathrm {m}\) lengte bevindt. Indien hij versnellingen tot \(10g\) kan verdragen, wat is dan de toegelaten maximale snelheid, en het maximale toegelaten toerental?
Alle punten van een ring voeren een eenparige cirkelbeweging uit. De grootte van de snelheid in punt \(A\) is \(v_a\) en in punt \(B\), \(v_b\). Dan is
\(v_ar_a=v_br_b\) \(v_br_a=v_ar_b\) \(v_av_b=r_ar_b\) \(v_a=v_b\)

De hoeksnelheid is voor beide punten gelijk zodat:
\begin{eqnarray*} \omega _a&=&\omega _b\\ &\Updownarrow &\\ \frac {v_a}{r_a}&=&\frac {v_b}{r_b}\\ &\Updownarrow &\\ v_br_a&=&v_ar_b \end{eqnarray*}

Het juist antwoord is dus (b).

Bij een fiets zijn het grootste en het kleinste kamwiel door middel van een ketting met elkaar verbonden. Tussen de hoeksnelheid \(\omega _1\) van het grootste kamwiel en \(\omega _2\) van het kleinste kamwiel bestaat de volgende relatie:
\(\omega _1=\omega _2\) \(r_1\omega _2=r_2\omega _1\) \(r_1\omega _1=r_2\omega _2\) \(r_1r_2=\omega _1\omega _2\)

Aangezien een stukje van de ketting overal dezelfde snelheid heeft – het legt in een bepaalde tijd steeds evenveel afstand af – moet de snelheid van een punt op de buitenrand van het grootste wiel gelijk zijn aan de snelheid van een punt op de buitenrand van het kleinste wiel. Dus:
\begin{eqnarray*} v_1&=&v_2\\ &\Updownarrow &\\ r_1\omega _1&=&r_2\omega _2 \end{eqnarray*}

Het juist antwoord is dus (c).

Een auto rijdt door een brugleuning en komt \(5\mathord {,}2\) \(\mathrm {m}\) lager in het water terecht. De horizontale afstand tussen de plaats waar hij door de leuning ging en waar hij in het water terechtkwam, is \(22\) \(\mathrm {m}\). Kan de politie hieruit afleiden met welke snelheid hij ongeveer reed? Was zijn werkelijke snelheid groter of kleiner?

\begin{eqnarray*} y&=&\frac {g}{2v_0^2}x^2\\ &\Updownarrow &\\ v_0&=&x\sqrt {\frac {g}{2y}}=21,37\rm \,m/s=\SI {77}{\kilo \meter \per \hour } \end{eqnarray*}
Een kogel wordt met een snelheid van \(800\) \(\mathrm {m}\,\mathrm {s}^{-1}\) horizontaal afgeschoten op een doel dat zich op een horizontale afstand van \(100\) \(\mathrm {m}\) bevindt. Over welke afstand is de kogel afgezakt?
Een vliegwiel doet 450 omwentelingen per minuut. Zoek de hoeksnelheid van het wiel en de snelheid van een punt op \(1\mathord {,}70\) \(\mathrm {m}\) van het middelpunt.
In een bocht met straal \(160\) \(\mathrm {m}\) verlaagt een autorenner zijn snelheid eenparig van \(90\) \(\mathrm {m}\,\mathrm {s}^{-1}\) tot \(75\) \(\mathrm {m}\,\mathrm {s}^{-1}\) in \(2\) \(\mathrm {s}\). Bereken de grootte van de versnelling van de wagen op het ogenblik dat de snelheid \(80\) \(\mathrm {m}\,\mathrm {s}^{-1}\).
\(40\mathord {,}7\) \(\mathrm {m}\,\mathrm {s}^{-2}\) \(40\) \(\mathrm {m}\,\mathrm {s}^{-2}\) \(15\) \(\mathrm {m}\,\mathrm {s}^{-2}\) \(7\mathord {,}5\) \(\mathrm {m}\,\mathrm {s}^{-2}\)
In de figuur is de versnelling en de snelheid van een puntmassa gegeven op een bepaald tijdstip. De grootte van de versnelling is \(15\mathord {,}0\) \(\mathrm {m}\,\mathrm {s}^{-2}\) en de vector maakt een hoek van \(\SI {30}{\degree }\) met de straal van de cirkel. De straal van de cirkel is \(2\mathord {,}50\) \(\mathrm {m}\). Bepaal de grootte van de normaalversnelling, de grootte van de tangentiële versnelling en de grootte van de baansnelheid.