Gebaseerd op cursus SPC 2021

Verbeteringen/fouten/onduidelijkheden/...?

Deze open-source cursus is in ontwikkeling. De aanbevelingen van leerlingen om dit materiaal te verbeteren zijn erg welkom via info@wiskunde.opmaat.org
Dit kan gaan over:

  • Een voorbeeld dat onduidelijk is.
  • Onnauwkeurigheden, schrijffouten, ...
  • Een tussenstap die beter uitgelegd moet worden.
  • Een uitleg die je op youtube, wikipedia of aan de kersttafel gevonden hebt die ophelderend was.
  • ...

0.1 Gravitationele potentiële energie, algemeen

Beschouw een massa onderhevig aan de universele gravitatiekracht. We gaan opnieuw opzoek naar een potentiële energiefunctie geassocieerd aan deze kracht.

Kiezen we een \(x\)-as met de oorsprong op de massa \(m\) dan wordt, omdat de kracht steeds naar de oorsprong is gericht, de component van de universele gravitatiekracht op de massa \(m'\) gegeven door

\begin{eqnarray*} F(x)&=&-G\frac {mm'}{x^2} \end{eqnarray*}

De arbeid die door de gravitatiekracht wordt geleverd bij de verplaatsing van de massa \(m'\) van \(x_a\) naar \(x_b\) wordt dan:

\begin{eqnarray*} W&=&\int _{x_a}^{x_b}-G\frac {mm'}{x^2}~{\rm d}x\\ &=&-Gmm'\int _{x_a}^{x_b}\frac {1}{x^2}~{\rm d}x\\ &=&-Gmm'\left [-\frac {1}{x}\right ]_{x_a}^{x_b}\\ &\Updownarrow &\\ W&=&\left (-G\frac {mm'}{x_a}\right )-\left (-G\frac {mm'}{x_b}\right ) \end{eqnarray*}

De potentiële energie voor een massa \(m'\) wordt bijgevolg geven door

\begin{eqnarray} E_p&=&-G\frac {mm'}{x} \end{eqnarray}