Met deze pagina kan je het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen in één onbekende met voorschrift \(ax2+bx+c=0\) inoefenen. Onder ’download’ kan je de pdf met of zonder antwoorden downloaden.

Bepaal de oplossingen van de vierkantsvergelijking \(x^2 - 4x + 3 = 0\).

De discrimant is positiefnulnegatief.
Deze vergelijking heeft twee oplossingenéén oplossinggeen oplossingenin de reële getallen.
Bepaal de wortels.

Een tweedegraadsvergelijking \(ax^2 - bx + c = 0\) met positieve discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) heeft altijd twee oplossingen, gegeven door:

\[ x_{1} = \frac {-b + \sqrt {\Delta }}{2a} \text { en } x_{2} = \frac {-b - \sqrt {\Delta }}{2a}, \]
waarbij
  • \( a \) de coëfficiënt van \( x^2 \) is,
  • \( b \) de coëfficiënt van \( x \) is,
  • \( c \) de constante term is,

In het algemeen wordt een tweedegraadsvergelijking in één onbekende gegeven door het voorschrift \(ax^2 - bx + c = 0\). De tweedegraadsvergelijking \(x^2 - 4x + 3 = 0\) heeft als coëfficiënten gelijk aan \(a = 1, b = -4 \text { en } c = 3\). We zoeken de getalwaarden voor \(x\) waarvoor deze vergelijking gelijk is aan nul. Hiervoor kan de formule met discrimant gebruikt worden.

De discrimant \( \Delta = b^2 - 4ac \) is gelijk aan \(\Delta = (-4)^2 -4\cdot 1 \cdot 3\). De vierkanswortel wordt dan gegeven door \(\sqrt {\Delta } = \sqrt {4} = 2\). Er zijn dus twee oplossingen omdat de discriminant positief is. Deze oplossingen worden gegeven door:

\[ x_{1} = \frac {-b + \sqrt {\Delta }}{2a} \text { en } x_{2} = \frac {-b - \sqrt {\Delta }}{2a} \]

Invullen levert:

\[ x_{1} = \frac {-(-4) + \sqrt {4}}{2\cdot 1} = 3 \]
\[ x_{2} = \frac {-(-4) - \sqrt {4}}{2\cdot 1} = 1 \]

Als je de vergelijking beschouwt als een functievoorschrift, zijn deze oplossingen de snijpunten van de parabool \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) met de \(x\)-as. Aangezien de discriminant positief is, zal de parabool de \(x\)-as 2 keer snijden.

Met de discrimantformule bereken je dus deze snijpunten met de \(x\)-as zonder grafiek van de functie .

Bepaal de oplossingen van de vierkantsvergelijking \( x^2 - 4x + 4 = 0 \) .

De discriminant is positiefnulnegatief.
Deze vergelijking heeft twee oplossingenéén oplossinggeen oplossingenin de reële getallen.
Bepaal de wortels.

Voor een tweedegraadsvergelijking \(ax^2 - bx + c = 0\) met \(\Delta = 0\) geldt:
\[ x = \frac {-b}{2a}. \]

In het algemeen wordt een tweedegraadsvergelijking gegeven door het voorschrift \( ax^2 - bx + c = 0 \) Voor de vergelijking
\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]
hebben we:
\[ a = 1,\quad b = -4,\quad c = 4. \]

Bereken de discriminant:

\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 4 = 16 - 16 = 0. \]

Aangezien \(\Delta = 0\) is er één oplossing (dubbele wortel), gegeven door:

\[ x = \frac {-b}{2a} = \frac {-(-4)}{2\cdot 1} = \frac {4}{2} = 2. \]

Als functievoorschrift is

\[ f(x)=x^2 - 4x + 4 \]
een parabool die de \(x\)-as raakt in het punt \( (2,0) \).

Bepaal de oplossingen van de vierkantsvergelijking \( x^2 - 4x + 5 = 0 \).

De discriminant is positiefnulnegatief.
Deze vergelijking heeft twee oplossingenéén oplossinggeen oplossingenin de reële getallen.

Voor de vergelijking \( x^2 - 4x + 5 = 0 \)

hebben we:

\[ a = 1,\quad b = -4,\quad c = 5. \]

De discriminant wordt berekend als:

\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 16 - 20 = -4. \]

Aangezien \(\Delta < 0\) zijn er geen reële oplossingen.

De grafiek van de parabool ligt volledig boven de \(x\)-as. Er zijn geen snijpunten.

Bepaal de oplossingen van volgende tweedegraadsvergelijkingen.
\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)

Er zijn twee reële oplossingen \( 1 \) en \( 3 \)
\( -2x^2 + 4x + 8 = 0 \)

Er zijn twee reële oplossingen \( -2 \) en \(4 \)
\( 2x^2 - 8x + 16 = 0 \)

De dubbele wortel is gelijk aan \( 2 \)
\( 2x^2 + 5x + 2 = 0 \)

Er zijn twee reële oplossingen \( -\frac {1}{2}\) en \(-2 \)
\( 3x^2 - 6x + 3 = 0 \)

De dubbele wortel is gelijk aan \( 1 \)
Bepaal de oplossingen van volgende tweedegraadsvergelijkingen.
\( x^2 + 4x + 5 = 0 \)

Er zijn geen oplossingen in de reële getallen.
\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)

Er zijn twee reële oplossingen \( -4 \) en \( 2 \)
\( 4x^2 + 12x + 9 = 0 \)

De dubbele wortel is gelijk aan \( -\frac {3}{2} \)
\( 3x^2 + 6x + 3 = 0 \)

De dubbele wortel is gelijk aan \( -1 \)
\( -x^2 + 4x + 1 = 0 \)

Er zijn twee reële oplossingen \( -\frac {1}{2} \) en \( 5 \)