
- Verberg vooruitgang Toon vooruitgang
- Verwijder je antwoorden (op deze pagina)
Wiskundigen hebben onderzocht waaraan dingen zouden moeten voldoen om ze redelijkerwijze ’getallen’ te willen noemen. Het lijkt evident dat we ’getallen’ willen kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Van een voldoende rijke verzameling getallen verwachten we ook dat elk getal een tegengestelde heeft, en ook een inverse. Bovendien moeten de optelling en de vermenigvuldiging natuurlijk ’compatibel’ zijn, zo willen we bijvoorbeeld dat \(x+x = 2\cdot x\) voor elk getal \(x\).
Sinds het begin van de twintigste eeuw werden volgende eisen vastgelegd om voldoende eigenschappen van de ’gewone’ reële getallen te behouden. We formuleren ze hier voor de complexe getallen \(\C \).
(Gs1) | \(\forall u,v\in \C :\) | \(u+v\) | \(\in \C \) | \(\qquad \qquad \) | (intern) |
(Gs2) | \(\forall u,v,w\in \C :\) | \((u+v)+w = \) | \(u+(v+w)\) | \(\qquad \qquad \) | (associatief) |
(Gs3) | \(\forall u\in \C :\) | \(u+ 0 = \) | \(u = 0+u \) | \(\qquad \qquad \) | (neutraal element) |
(Gs4) | \(\forall u\in \C ,\exists -u\in \C :\) | \( u+ (-u) = \) | \(0 = (-u) +u \) | \(\qquad \qquad \) | (tegengestelde) |
(Gs5) | \(\forall u,v \in \C :\) | \( u+ v = \) | \(v+ u \) | \(\qquad \qquad \) | (commutatief) |
(Gp1) | \(\forall u,v\in \Cnul :\) | \(u\cdot v\) | \(\in \C \) | \(\qquad \qquad \) | (intern) |
(Gp2) | \(\forall u,v,w\in \Cnul :\) | \((u\cdot v)\cdot w = \) | \(u\cdot (v\cdot w)\) | \(\qquad \qquad \) | (associatief) |
(Gp3) | \(\forall u\in \Cnul :\) | \(u\cdot 1 = \) | \(u = 1\cdot u \) | \(\qquad \qquad \) | (neutraal element) |
(Gp4) | \(\forall u\in \Cnul ,\exists u^{-1}\in \C :\) | \( u\cdot u^{-1} =\) | \( 1 = u^{-1}\cdot u \) | \(\qquad \qquad \) | (tegengestelde) |
(Gp5) | \(\forall u,v \in \Cnul :\) | \( u \cdot v =\) | \( v\cdot u \) | \(\qquad \qquad \) | (commutatief) |
De compatibiliteit tussen plus en maal heet de distributiviteit:
(D1) | \(\forall u,v,w \in \C :\) | \( u \cdot (v+w) = \) | \( u\cdot v +u\cdot w\) | \(\qquad \qquad \) | (\(\cdot \) is distributief t.o.v. \(+\)) |
De voorgaande eigenschappen worden samengevat in het wiskundige begrip veld:
1) | commutatieve groep voor de optelling | (Gs1)-(Gs5), |
2) | commutatieve groep voor de vermenigvuldiging | (Gp1)-(Gp5), |
3) | distributiviteit van de optelling ten opzichte van de vermenigvuldiging | (D1). |
Ook de rationale getallen \(\Q ,+,\cdot \) en de reële getallen \(\R ,+,\cdot \) zijn voorbeelden van velden.
Waarom zijn de natuurlijke getallen \(\N ,+,\cdot \) geen veld?
Vormen de gehele getallen \(\Z ,+,\cdot \) een veld?
Een erg belangrijke en interessante eigenschap van reële getallen is bovendien dat ze geordend zijn:
\(\R ,+,\cdot \) is een veld, en bovendien geldt
(Ot1) | \(\forall x,y \in \R :\) | als \( x \leq y \) en \(y \leq x\) | dan \( x=y\) | \(\qquad \qquad \qquad \) | (antisymmetrie) |
(Ot2) | \(\forall x,y,z \in \R :\) | als \( x \leq y \) en \(y \leq z\) | dan \(x\leq z\) | \(\qquad \qquad \qquad \) | (transitief) |
(Ot3) | \(\forall x,y \in \R :\) | \( u \leq v \) of \(v \leq u \) | (of beide) | \(\qquad \qquad \qquad \) | (totaal) |
waarbij de orde \(\leq \) compatibel is met som \(+\) en het product \(\cdot \), dus
(Oc1) | \(\forall x,y,z \in \R :\) | als \( x \leq y\) | dan \(x+z < y+z y\) | \(\qquad \) | (compatibel met \(+\)) |
(Oc2) | \(\forall x,y \in \R :\) | als \( 0 \leq x\) en \(0< y \) | dan \(0 < x\cdot y\) | \(\qquad \) | (compatibel met \(\cdot \)) |
Men kan aantonen dat de verzameling \(\C \) niet totaal kan geordend worden zoals \(\Q \)
of \(\R \). Hiermee wordt bedoeld dat het niet mogelijk is om een definitie te vinden voor
\(a+bi <c+di\) die zou voldoen aan dezelfde eigenschappen als de ongelijkheid \(<\) in \(\R \) of \(\Q \).
Je kan van twee complexe getallen dus niet zeggen welk "et kleinste"is.
In het bijzonder heeft het geen betekenis om te vragen of \(2+3i\) positief of negatief is. Zo
kan je ook niet zeggen dat \(1+i\) positief is en \(-1-i\) negatief, maar wel dat ze elkaars
tegengestelde zijn. Hetzelfde geldt zelfs voor \(i\): het heeft geen betekenis om te beweren
dat \(i\) positief is, en \(-i\) negatief. Het heeft wel betekenis om te zeggen dat \(i\) en \(-i\) elkaars
tegengestelde zijn.