Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
Wiskundigen hebben onderzocht waaraan dingen zouden moeten voldoen om ze
redelijkerwijze ’getallen’ te willen noemen. Het lijkt evident dat we ’getallen’ willen
kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Van een voldoende rijke
verzameling getallen verwachten we ook dat elk getal een tegengestelde heeft, en
ook een inverse. Bovendien moeten de optelling en de vermenigvuldiging
natuurlijk ’compatibel’ zijn, zo willen we bijvoorbeeld dat \(x+x = 2\cdot x\) voor elk getal
\(x\).
Sinds het begin van de twintigste eeuw werden volgende eisen vastgelegd om
voldoende eigenschappen van de ’gewone’ reële getallen te behouden. We formuleren
ze hier voor de complexe getallen \(\C \).
\(\C ,+\) is een commutatieve groep. Dat betekent
(Gs1)
\(\forall u,v\in \C :\)
\(u+v\)
\(\in \C \)
\(\qquad \qquad \)
(intern)
(Gs2)
\(\forall u,v,w\in \C :\)
\((u+v)+w = \)
\(u+(v+w)\)
\(\qquad \qquad \)
(associatief)
(Gs3)
\(\forall u\in \C :\)
\(u+ 0 = \)
\(u = 0+u \)
\(\qquad \qquad \)
(neutraal element)
(Gs4)
\(\forall u\in \C ,\exists -u\in \C :\)
\( u+ (-u) = \)
\(0 = (-u) +u \)
\(\qquad \qquad \)
(tegengestelde)
(Gs5)
\(\forall u,v \in \C :\)
\( u+ v = \)
\(v+ u \)
\(\qquad \qquad \)
(commutatief)
\(\Cnul ,\cdot \) is een commutatieve groep. Dat betekent
(Gp1)
\(\forall u,v\in \Cnul :\)
\(u\cdot v\)
\(\in \C \)
\(\qquad \qquad \)
(intern)
(Gp2)
\(\forall u,v,w\in \Cnul :\)
\((u\cdot v)\cdot w = \)
\(u\cdot (v\cdot w)\)
\(\qquad \qquad \)
(associatief)
(Gp3)
\(\forall u\in \Cnul :\)
\(u\cdot 1 = \)
\(u = 1\cdot u \)
\(\qquad \qquad \)
(neutraal element)
(Gp4)
\(\forall u\in \Cnul ,\exists u^{-1}\in \C :\)
\( u\cdot u^{-1} =\)
\( 1 = u^{-1}\cdot u \)
\(\qquad \qquad \)
(tegengestelde)
(Gp5)
\(\forall u,v \in \Cnul :\)
\( u \cdot v =\)
\( v\cdot u \)
\(\qquad \qquad \)
(commutatief)
De compatibiliteit tussen plus en maal heet de distributiviteit:
De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling:
(D1)
\(\forall u,v,w \in \C :\)
\( u \cdot (v+w) = \)
\( u\cdot v +u\cdot w\)
\(\qquad \qquad \)
(\(\cdot \) is distributief t.o.v. \(+\))
De voorgaande eigenschappen worden samengevat in het wiskundige begrip
veld:
De complexe getallen \(\C ,+,\cdot \) met de optelling en de vermenigvuldiging vormen een veld
omdat ze voldoen aan bovenstaande eigenschappen van
1)
commutatieve groep voor de optelling
(Gs1)-(Gs5),
2)
commutatieve groep voor de vermenigvuldiging
(Gp1)-(Gp5),
3)
distributiviteit van de optelling ten opzichte van de vermenigvuldiging
(D1).
Ook de rationale getallen \(\Q ,+,\cdot \) en de reële getallen \(\R ,+,\cdot \) zijn voorbeelden van velden.
Quick Question 1
Waarom zijn de natuurlijke getallen \(\N ,+,\cdot \)geen veld?
Quick Question 2
Vormen de gehele getallen \(\Z ,+,\cdot \) een veld?
Een erg belangrijke en interessante eigenschap van reële getallen is bovendien dat ze
geordend zijn:
De reële getallen \(\R ,+,\cdot ,\leq \) zijn een totaal geordend veld, dat betekent
\(\R ,+,\cdot \) is een veld, en bovendien geldt
(Ot1)
\(\forall x,y \in \R :\)
als \( x \leq y \) en \(y \leq x\)
dan \( x=y\)
\(\qquad \qquad \qquad \)
(antisymmetrie)
(Ot2)
\(\forall x,y,z \in \R :\)
als \( x \leq y \) en \(y \leq z\)
dan \(x\leq z\)
\(\qquad \qquad \qquad \)
(transitief)
(Ot3)
\(\forall x,y \in \R :\)
\( u \leq v \) of \(v \leq u \)
(of beide)
\(\qquad \qquad \qquad \)
(totaal)
waarbij de orde \(\leq \) compatibel is met som \(+\) en het product \(\cdot \), dus
(Oc1)
\(\forall x,y,z \in \R :\)
als \( x \leq y\)
dan \(x+z < y+z y\)
\(\qquad \)
(compatibel met \(+\))
(Oc2)
\(\forall x,y \in \R :\)
als \( 0 \leq x\) en \(0< y \)
dan \(0 < x\cdot y\)
\(\qquad \)
(compatibel met \(\cdot \))
Men kan aantonen dat de verzameling \(\C \)niet totaal kan geordend worden zoals \(\Q \)
of \(\R \). Hiermee wordt bedoeld dat het niet mogelijk is om een definitie te vinden voor
\(a+bi <c+di\) die zou voldoen aan dezelfde eigenschappen als de ongelijkheid \(<\) in \(\R \) of \(\Q \).
Je kan van twee complexe getallen dus niet zeggen welk "et kleinste"is.
In het bijzonder heeft het geen betekenis om te vragen of \(2+3i\)positief of negatief is. Zo
kan je ook niet zeggen dat \(1+i\)positief is en \(-1-i\) negatief, maar wel dat ze elkaars
tegengestelde zijn. Hetzelfde geldt zelfs voor \(i\): het heeft geen betekenis om te beweren
dat \(i\) positief is, en \(-i\) negatief. Het heeft wel betekenis om te zeggen dat \(i\) en \(-i\) elkaars
tegengestelde zijn.
Complexe getallen D