Wiskundigen hebben onderzocht waaraan dingen zouden moeten voldoen om ze redelijkerwijze ’getallen’ te willen noemen. Het lijkt evident dat we ’getallen’ willen kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Van een voldoende rijke verzameling getallen verwachten we ook dat elk getal een tegengestelde heeft, en ook een inverse. Bovendien moeten de optelling en de vermenigvuldiging natuurlijk ’compatibel’ zijn, zo willen we bijvoorbeeld dat \(x+x = 2\cdot x\) voor elk getal \(x\).

Sinds het begin van de twintigste eeuw werden volgende eisen vastgelegd om voldoende eigenschappen van de ’gewone’ reële getallen te behouden. We formuleren ze hier voor de complexe getallen \(\C \).

De compatibiliteit tussen plus en maal heet de distributiviteit:

De voorgaande eigenschappen worden samengevat in het wiskundige begrip veld:

Ook de rationale getallen \(\Q ,+,\cdot \) en de reële getallen \(\R ,+,\cdot \) zijn voorbeelden van velden.

Quick Question 1

Waarom zijn de natuurlijke getallen \(\N ,+,\cdot \) geen veld?

Quick Question 2

Vormen de gehele getallen \(\Z ,+,\cdot \) een veld?

Een erg belangrijke en interessante eigenschap van reële getallen is bovendien dat ze geordend zijn: