Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
Complexe getallen kan je beschouwen als een nieuwe manier om het reële vlak te
bekijken. Je weet al dat je door een \(x\)-as en een \(y\)-as in te voeren elk punt van het vlak met
behulp van coördinaten kan schrijven als een koppel\((a,b)\) reële getallen. Zo
ligt bijvoorbeeld punt \((1,0)\) op de \(x\)-as, punt \((2,1)\) in het eerste kwadrant, en is \((0,0)\) de
oorsprong.
Door nu het punt \((0,1)\) op de \(y\)-as een nieuwe naam \(i\) te geven, en het punt \((1,0)\) op
de \(x\)-as gewoon als \(1\), kan je het punt \((2,1)\) ook schrijven als
\[ (a,b) = (a,0) + (0,b) = a\cdot (1,0) + b\cdot (0,1) = a + bi \]
Deze eenvoudige operatie lijkt op het eerste zicht misschien wat
merkwaardig, maar zal blijken bijzonder interessant te zijn en een volledig nieuwe
wiskundige wereld te openen met toepassingen in computerwetenschappen, fysica
en ingenieurswetenschappen. De kracht volgt vooral uit de afspraak dat
\(i^2=i\cdot i=-1\).
Complex getal Een complex getal is een uitdrukking van de vorm \(a+bi\), met \(a,b \in \R \) en \(i\)
een nieuw symbool waarvoor we afspreken dat \( \important {i^2=-1}\). Een complex getal \(a+bi\) kan
je bekijken als een nieuwe schrijfwijze voor het punt \((a,b)\). De verzameling
complexe getallen noteren we met \(\important {\C =\{a+bi \;|\; a,b\in \R ;\; i^2=-1\}} \), en wordt ook het complexe vlak
genoemd.
Voor \(z=a+bi\) noemen
we
\(a\) het reëel deel
\(b\) het imaginair deel
en we
noteren
\(\important {\Re (z)} = \Re (a+bi) = a\)
\(\important {\Im (z)} = \Im (a+bi) = b\)
.
Als \(\Im (z) = b=0\), dan is \(z=a\)
een (zuiver) reëel getal, en
als \(\Re (z) = a=0\), dan is \(z=bi\)
een (zuiver) imaginair getal.
Omdat complex getallen overeenkomen met punten in het vlak, zijn twee complexe
getallen aan elkaar gelijk als ze dezelfde reële en imaginaire delen hebben:
\(a+bi = c + di\)
\(\iff \)
\(a = c\) en \(b = d\)
of ook
\(z = w\)
\(\iff \)
\(\Re (z)=\Re (w)\) en \(\Im (z)=\Im (w)\)
Quick Question 1
Waar liggen de zuiver imaginaire getallen in het complexe vlak? En waar de
zuiver reële getallen?
Gelijkheid van complexe getallen
Het kan overbodig lijken om te vermelden wanneer
twee complexe getallen \(z = a+bi\) en \(w = c+di\) aan elkaar gelijk zijn. Merk op dat een gelijkaardige regel
voor breuken niet geldt: als \(\frac {a}{b} = \frac {c}{d}\) gelijk zijn hoeft niet te gelden dat \(a = c\) en \(b = d\). De breuken \(\frac {1}{2}\)
en \(\frac {3}{6}\) zijn immers gelijk, maar hun tellers en noemers toch zijn verschillend.
Volgende uitdrukkingen zijn allemaal complexe getallen:
De getallen \(42\) en \(1+\pi \) zijn zuiver reële getallen, \(42i\) is een zuiver imaginair getal.
Geef telkens het reëel en het imaginair deel van de volgende complexe getallen.
\(8+3i\)
heeft reëel deel \(\answer {8}\) en imaginair deel \(\answer {3}\).
Het reëel en imaginair deel van een
complex getal vind je door het getal te schrijven in de vorm \(a+bi\), en dan is \(\Re (a+bi) = a\) en
\(\Im (a+bi) = b\).
Hier wordt dat dus \(\Re (8+3i) = 8\) en \(\Im (8+3i) = 3\).
\(\sqrt {2} - \sqrt {2}i\)
heeft reëel deel \(\answer {\sqrt {2}}\) en imaginair deel \(\answer {-\sqrt {2}}\).
\(7i\)
heeft reëel deel \(\answer {0}\) en imaginair deel \(\answer {7}\).
\(5\)
heeft reëel deel \(\answer {5}\) en imaginair deel \(\answer {0}\).
\(5i-4\)
heeft reëel deel \(\answer {-4}\) en imaginair deel \(\answer {5}\).
\(\frac {1+2i}{3}\)
heeft reëel deel \(\answer {\frac {1}{3}}\) en imaginair deel \(\answer {\frac {2}{3}}\).
\(i\)
heeft reëel deel \(\answer {0}\) en imaginair deel \(\answer {1}\).
\(\frac {9+3i}{3}\)
heeft reëel deel \(\answer {3}\) en imaginair deel \(\answer {1}\).
\(\pi + i + e\)
heeft reëel deel \(\answer {\pi +e}\) en imaginair deel \(\answer {1}\).
\(0\)
heeft reëel deel \(\answer {0}\) en imaginair deel \(\answer {0}\).
\(\frac {\sqrt {5} + \sqrt {5}i }{\sqrt {5}}\)
heeft reëel deel \(\answer {1}\) en imaginair deel \(\answer {1}\).
Schrijf zo eenvoudig mogelijk, door gebruik te maken van de gelijkheid
\(i^2=-1\).
![[Picture]](cmplx_definitie_meetkundig.online-04b2829559119e52e76346f87397b4f4.svg)
![[Picture]](cmplx_definitie_meetkundig.online-609b80201da883f411becc46c32c0d82.svg)
