Complexe getallen kan je beschouwen als een nieuwe manier om het reële vlak te bekijken.
Je weet al dat je door een \(x\)-as en een \(y\)-as in te voeren elk punt van het vlak met behulp van coördinaten kan schrijven als een koppel \((a,b)\) reële getallen. Zo ligt bijvoorbeeld punt \((1,0)\) op de \(x\)-as, punt \((2,1)\) in het eerste kwadrant, en is \((0,0)\) de oorsprong.

Door nu het punt \((0,1)\) op de \(y\)-as een nieuwe naam \(i\) te geven, en het punt \((1,0)\) op de \(x\)-as gewoon als \(1\), kan je het punt \((2,1)\) ook schrijven als

\[ (2,1) = (2,0) + (0,1) = 2\cdot (1,0) + (0,1) = 2 + i \]

en een willekeurig punt \((a,b)\) als

\[ (a,b) = (a,0) + (0,b) = a\cdot (1,0) + b\cdot (0,1) = a + bi \]

Deze eenvoudige operatie lijkt op het eerste zicht misschien wat merkwaardig, maar zal blijken bijzonder interessant te zijn en een volledig nieuwe wiskundige wereld te openen met toepassingen in computerwetenschappen, fysica en ingenieurswetenschappen. De kracht volgt vooral uit de afspraak dat \(i^2=i\cdot i=-1\).

Quick Question 1

Waar liggen de zuiver imaginaire getallen in het complexe vlak? En waar de zuiver reële getallen?

Gelijkheid van complexe getallen

Het kan overbodig lijken om te vermelden wanneer twee complexe getallen \(z = a+bi\) en \(w = c+di\) aan elkaar gelijk zijn. Merk op dat een gelijkaardige regel voor breuken niet geldt: als \(\frac {a}{b} = \frac {c}{d}\) gelijk zijn hoeft niet te gelden dat \(a = c\) en \(b = d\). De breuken \(\frac {1}{2}\) en \(\frac {3}{6}\) zijn immers gelijk, maar hun tellers en noemers toch zijn verschillend.
Geef telkens het reëel en het imaginair deel van de volgende complexe getallen.
\(8+3i\) heeft reëel deel \(\answer {8}\) en imaginair deel \(\answer {3}\).

Het reëel en imaginair deel van een complex getal vind je door het getal te schrijven in de vorm \(a+bi\), en dan is \(\Re (a+bi) = a\) en \(\Im (a+bi) = b\).

Hier wordt dat dus \(\Re (8+3i) = 8\) en \(\Im (8+3i) = 3\).

\(\sqrt {2} - \sqrt {2}i\) heeft reëel deel \(\answer {\sqrt {2}}\) en imaginair deel \(\answer {-\sqrt {2}}\).
\(7i\) heeft reëel deel \(\answer {0}\) en imaginair deel \(\answer {7}\).
\(5\) heeft reëel deel \(\answer {5}\) en imaginair deel \(\answer {0}\).
\(5i-4\) heeft reëel deel \(\answer {-4}\) en imaginair deel \(\answer {5}\).
\(\frac {1+2i}{3}\) heeft reëel deel \(\answer {\frac {1}{3}}\) en imaginair deel \(\answer {\frac {2}{3}}\).
\(i\) heeft reëel deel \(\answer {0}\) en imaginair deel \(\answer {1}\).
\(\frac {9+3i}{3}\) heeft reëel deel \(\answer {3}\) en imaginair deel \(\answer {1}\).
\(\pi + i + e\) heeft reëel deel \(\answer {\pi +e}\) en imaginair deel \(\answer {1}\).
\(0\) heeft reëel deel \(\answer {0}\) en imaginair deel \(\answer {0}\).
\(\frac {\sqrt {5} + \sqrt {5}i }{\sqrt {5}}\) heeft reëel deel \(\answer {1}\) en imaginair deel \(\answer {1}\).
Schrijf zo eenvoudig mogelijk, door gebruik te maken van de gelijkheid \(i^2=-1\).
\( i^2\) = \(\answer {-1}\)
\( i^5\) = \(\answer {i}\)
\(-i^3\) = \(\answer {i}\)
\( i^4\) = \(\answer {-1}\)
\(-i^4\) = \(\answer {-1}\)
\(i^{10}\) = \(\answer {-1}\)
\(i^{11}\) = \(\answer {-i}\)
\(i^{12}\) = \(\answer {1}\)
\(-i^2\) = \(\answer {1}\)
\(i^{2028}\) = \(\answer {1}\)