Uitweiding 1: Het tegengestelde van een reëel getal

Het tegengestelde \(-a\) van een reëel getal \(a\) is een erg eenvoudig begrip, want \(-a\) is ’het getal \(a\) met het omgekeerde teken’. Op de getallenrechte kan je \(-a\) beschouwen als het spiegelbeeld van \(a\) rond de oorsprong.

Het tegengestelde \(-z\) van een complex getal kan onmiddellijk en zonder enig probleem worden gedefinieerd:als \(z=a+bi\), dan is \(-z = -(a+bi) = -a -bi\), en in het complexe vlak is \(-z\) het spiegelbeeld van \(z\) door de oorsprong:

Complexe getallen kan je spiegelen rond de \(x\)-as, en dat zal blijken een bijzonder nuttige operatie te zijn, die geen equivalent heeft voor een reëel getal. Terwijl men bij spiegelen door de oorsprong spreekt over het tegengestelde \(-z\), noemt men de over de \(x\)-as gespiegelde het complex toegevoegde \(\overline {z}\).

Volgende eigenschap, waarvan het bewijs een oefening is, geeft aan dat complex toevoegen compatibel is met optelling en vermenigvuldiging.

Bewijs de vorige eigenschap.
Bereken voor een complex getal \(z=a+bi \in \C \) volgende uitdrukkingen:
\(z + \overline {z} = \answer [onlineshowanswerbutton]{2a}\)

\( z+ \overline {z} = (a+bi) + (a-bi) = 2a \)
\(z -\overline {z} = \answer [onlineshowanswerbutton]{2bi}\)

\( z- \overline {z} = (a+bi) - (a-bi) = 2bi \)
\(z\cdot \overline {z} = \answer [onlineshowanswerbutton]{a^2+b^2}\)

\( z\cdot \overline {z} = (a+bi)(a-bi) = a^2- i^2b^2 = a^2+b^2\)

Hiermee zijn volgende eigenschappen aangetoond:

Zowel de som als het product van een getal \(z\) en zijn complex toegevoegde \(\overline {z}\) zijn steeds reëel, en dat zal een manier opleveren om het inverse \(z^{-1}\) te berekenen, en dus het quotiënt van twee complexe getallen.