
- Verberg vooruitgang Toon vooruitgang
- Verwijder je antwoorden (op deze pagina)
Het tegengestelde \(-a\) van een reëel getal \(a\) is een erg eenvoudig begrip, want \(-a\) is ’het getal \(a\) met het omgekeerde teken’. Op de getallenrechte kan je \(-a\) beschouwen als het spiegelbeeld van \(a\) rond de oorsprong.
Het tegengestelde \(-z\) van een complex getal kan onmiddellijk en zonder enig probleem worden gedefinieerd:als \(z=a+bi\), dan is \(-z = -(a+bi) = -a -bi\), en in het complexe vlak is \(-z\) het spiegelbeeld van \(z\) door de oorsprong:
Complexe getallen kan je spiegelen rond de \(x\)-as, en dat zal blijken een bijzonder nuttige operatie te zijn, die geen equivalent heeft voor een reëel getal. Terwijl men bij spiegelen door de oorsprong spreekt over het tegengestelde \(-z\), noemt men de over de \(x\)-as gespiegelde het complex toegevoegde \(\overline {z}\).
De complex toegevoegde van een complex getal \(z=a+bi\), genoteerd \(\overline {z}\), is het complexe getal
\(\relax \fcolorbox {black}{white}{$\overline {z} \; \perdef \; \overline {a+bi} \; \perdef \; a-bi$}\) | \(\overline {3+4i} = 3 - 4i.\) |
Volgende eigenschap, waarvan het bewijs een oefening is, geeft aan dat complex toevoegen compatibel is met optelling en vermenigvuldiging.
\(\relax \fcolorbox {black}{white}{$\overline {z+w} = \overline {z} + \overline {w}$}\) | \(\overline {(2+3i)+(4+5i)} = 6-8i = \overline {2+3i} + \overline {4+5i}\) |
\(\relax \fcolorbox {black}{white}{$\overline {z\cdot w} = \overline {z} \cdot \overline {w}$}\) | \(\overline {(2+3i)\cdot (4+5i)} = -7-22i = \overline {2+3i} \cdot \overline {4+5i}\) |
Hiermee zijn volgende eigenschappen aangetoond:
\(\relax \fcolorbox {black}{white}{$\overline {\overline {z}} = \overline {(\,\overline {z}\,)} = z$}\) | \(\overline {(\overline {2+3i})} = \overline {2 - 3i} = 2+3i\) |
\(\relax \fcolorbox {black}{white}{$z + \overline {z} = 2\Re (z)$}\) | \(2+3i\;+\; \overline {2+3i} = 2 + 3i + 2 - 3i = 4 = 2\Re (2+3i)\) |
\(\relax \fcolorbox {black}{white}{$z - \overline {z} = 2\Im (z)$}\) | \(2+3i\;-\; \overline {2+3i} = 2 + 3i - 2 + 3i = 6i = 2i\Im (2+3i)\) |
\(\relax \fcolorbox {black}{white}{$z\overline {z} = |z|^2$}\) | \((2+3i)(2-3i) = 4 - 9i^2 = 4 +9 = 13 = |2+3i|^2\) |
Zowel de som als het product van een getal \(z\) en zijn complex toegevoegde \(\overline {z}\) zijn steeds reëel, en dat zal een manier opleveren om het inverse \(z^{-1}\) te berekenen, en dus het quotiënt van twee complexe getallen.