Het optellen van complexe getallen is erg eenvoudig in de cartesische schrijfwijze, het correspondeert immers met het optellen van vectoren. Bij de vermenigvuldigen van complexe getallen is de polaire schrijfwijze erg eenvoudig, ook deze bewerking correspondeert met een meetkundige operatie in het complexe vlak. Zij \(z_1=r_1 (\cos \theta _1 + i \sin \theta _1 ) \) en \(z_2 = r_2(\cos \theta _2 + i \sin \theta _2 )\) complexe getallen. Met behulp van de som- en verschilformules van goniometrische getallen levert een rechtstreekse berekening:

\begin{align*} z_1\cdot z_2 &= r_1 (\cos \theta _1 + i \sin \theta _1 )\cdot r_2 (\cos \theta _2 + i \sin \theta _2 )\\ &= r_1 r_2 (\cos \theta _1 \cos \theta _2 - \sin \theta _1 \sin \theta _2 + i(\sin \theta _1 \cos \theta _2 + \cos \theta _1 \sin \theta _2 ))\\ &= r_1 r_2 ( \cos (\theta _1 + \theta _2) + i \sin (\theta _1 + \theta _2) \, , \end{align*}

De moduli \(r_i\) worden vermenigvuldigd, en de argumenten \(\theta _i\) worden opgeteld.

Gegeven zijn de complexe getallen:
\begin{align*} z_1 &= 2 \left (\cos \frac {5\pi }{12} + i \sin \frac {5\pi }{12}\right ), \\ z_2 &= 3 \left (\cos \frac {5\pi }{6}+ i \sin \frac {5\pi }{6}\right ), \\ \end{align*}

Bereken algebraïsch de volgende complexe getallen en geef het resultaat in cartesische en polaire vorm.

\(z_1 \cdot z_2\)
\((z_1)^2\)
\(\frac {z_2}{z_1}\)

Uitweiding 1: Vermenigvuldiging van 2 complexe getallen grafisch uitgelegd

We kunnen de vermenigvuldiging met een complex getal ook zien als een actie die we doen op punten in het vlak. Als we een bepaald complex getal \(z = r(\cos \theta + i \sin \theta )\) fixeren, en eender welk complex getal vermenigvuldigen met die \(z\), dan tellen we steeds \(\theta \) bij het argument van het complex getal op, en vermenigvuldigen we de modulus van dat complex getal steeds met \(r\).

Je kan experimenteren met deze voorstelling van de vermenigvuldiging door in onderstaande applet de complexe getallen \(z_1\) en \(z_2\) te verslepen, en dan via de vermenigvuldig-knop te zien hoe vermenigvuldigen met \(z_2 = (r,\theta )\) inderdaad kan beschouwd worden als een rotatie over een hoek \(\theta \) gevolgd door een herschaling met een factor \(r\).

Teken devolgende complexe getallen \(z_1\) en \(z_2\) als punten van het complexe vlak. Bepaal zonder te rekenen waar haar het product \( z_1 z_2\) ligt.
\(z_1 = 1+1\) \(z_2 = i\)
\(z_1 = 5\) \(z_2 = i - 1\)
\(z_1 = 2 + 2i\) \(z_2 = -2 - 2i \)