Uitweiding 1: Het tegengestelde van een reëel getal

Het tegengestelde \(-a\) van een reëel getal \(a\) is een erg eenvoudig begrip, want \(-a\) is ’het getal \(a\) met het omgekeerde teken’. Op de getallenrechte kan je \(-a\) beschouwen als het spiegelbeeld van \(a\) rond de oorsprong.

Het tegengestelde \(-z\) van een complex getal kan onmiddellijk en zonder enig probleem worden gedefinieerd:als \(z=a+bi\), dan is \(-z = -(a+bi) = -a -bi\), en in het complexe vlak is \(-z\) het spiegelbeeld van \(z\) door de oorsprong:

Complexe getallen kan je spiegelen rond de \(x\)-as, en dat zal blijken een bijzonder nuttige operatie te zijn, die geen equivalent heeft voor een reëel getal. Terwijl men bij spiegelen door de oorsprong spreekt over het tegengestelde \(-z\), noemt men de over de \(x\)-as gespiegelde het complex toegevoegde \(\overline {z}\).

Quick Question 1

Waar in het complex vlak ligt het complex toegevoegde van de zuiver reële getallen?

Volgende eigenschap, waarvan het bewijs een oefening is, geeft aan dat complex toevoegen compatibel is met optelling en vermenigvuldiging.

Bewijs de vorige eigenschap.
Bereken voor een complex getal \(z=a+bi \in \C \) volgende uitdrukkingen:
\(z + \overline {z} = \answer [onlineshowanswerbutton]{2a}\)

\( z+ \overline {z} = (a+bi) + (a-bi) = 2a \)
\(z -\overline {z} = \answer [onlineshowanswerbutton]{2bi}\)

\( z- \overline {z} = (a+bi) - (a-bi) = 2bi \)
\(z\cdot \overline {z} = \answer [onlineshowanswerbutton]{a^2+b^2}\)

\( z\cdot \overline {z} = (a+bi)(a-bi) = a^2- i^2b^2 = a^2+b^2\)

Hiermee zijn volgende eigenschappen aangetoond:

Zowel de som als het product van een getal \(z\) en zijn complex toegevoegde \(\overline {z}\) zijn steeds reëel, en dat zal een manier opleveren om het inverse \(z^{-1}\) te berekenen, en dus het quotiënt van twee complexe getallen.