De n-de macht van een complexe getal \(z^n\) is het n-voudig product \(z \cdot z \cdot z \cdot \dots \cdot z \). (n-keer invoegen). Met de vermenigvuldiging van complexe getallen kan dit n-voudig product uitgerekend worden. Ook hier zijn de berekeningen met de goniometrische schrijfwijze veel eenvoudiger.

Het meest eenvoudige geval \(n=2\) is het kwadraat \(z^2\) van een complex getal. Dit is de vermenigvuldiging van het complex getal met zichzelf. Voor een complex getal \(z\) met als goniometrische schrijfwijze \(r(\cos \theta + i \sin \theta ) \) wordt dit:

\[ z^2 = z \cdot z = r(\cos \theta + i \sin \theta ) \cdot r(\cos \theta + i \sin \theta ) = r^2(\cos (\theta + \theta ) + i \sin (\theta + \theta ) ) = r^2(\cos 2\theta + i \sin 2\theta ). \]

Het herhalen van deze methode levert dan hogere machten van een complex getal. \(z^3 = z^2 \cdot z \). Het algemene resultaat staat bekend als de formule van DeMoivre:

Bereken met de formule van De Moivre
\((\sqrt 3 + i)^3 = \answer [onlineshowanswerbutton]{8i}\)
\((-1-i)^{20} = \answer [onlineshowanswerbutton]{-1024}\)
\((1+ i)^{21} = \answer [onlineshowanswerbutton]{-1024-1024i}\)
\((-\sqrt 3 + i)^5 = \answer [onlineshowanswerbutton]{16\sqrt 3+16i}\)
Gegeven is het complex getal \(z = \cos \frac {3\pi }{4} + i\sin \frac {3\pi }{4}\).
Bereken \(z^0, z^1, z^2, z^3, \dots , z^8 \) en schrijf telkens het resultaat in cartesische vorm.

˙Het getal \(z\) ligt op de eenheidscirkel (\(r=1\)) met argument \(\frac {3\pi }{4}\). Volgens de formule van De Moivre geldt voor elke natuurlijke exponent \(n\):
\[ z^n = \cos \frac {3n\pi }{4} + i\sin \frac {3n\pi }{4}\,. \]
Omdat \(\cos \frac {3\pi }{4}=\sin \frac {3\pi }{4}=-\frac {\sqrt {2}}{2}\), \(\cos \frac {\pi }{4}=\sin \frac {\pi }{4}=\frac {\sqrt {2}}{2}\) en \(\cos \frac {\pi }{2}=0\), \(\sin \frac {\pi }{2}=1\), vind je in cartesische vorm:
\begin{align*} z^0 &= 1, & z^1 &= -\frac {\sqrt {2}}{2}+\frac {\sqrt {2}}{2}\,i, & z^2 &= -i, \\ z^3 &= \frac {\sqrt {2}}{2}+\frac {\sqrt {2}}{2}\,i, & z^4 &= -1, & z^5 &= \frac {\sqrt {2}}{2}-\frac {\sqrt {2}}{2}\,i, \\ z^6 &= i, & z^7 &= -\frac {\sqrt {2}}{2}-\frac {\sqrt {2}}{2}\,i, & z^8 &= 1\,. \end{align*}
Stel de opeenvolgende machten van \(z\) voor in het complexe vlak. Wat valt je op?

˙Alle punten liggen op de eenheidscirkel. Bij elke verhoging van de exponent met \(1\) roteert het beeldpunt over een vaste hoek \(\frac {3\pi }{4}\) rond de oorsprong (vermenigvuldigen met \(z\) is dus een rotatie over \(135^\circ \)). Na acht stappen ben je terug bij \(z^8=1=z^0\): de acht punten vormen een regelmatige achthoek op de cirkel (de machten herhalen zich met periode \(8\) omdat \(8\cdot \frac {3\pi }{4}=6\pi \) een veelvoud van \(2\pi \) is).