Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
De n-de macht van een complexe getal \(z^n\) is het n-voudig product \(z \cdot z \cdot z \cdot \dots \cdot z \). (n-keer invoegen).
Met de vermenigvuldiging van complexe getallen kan dit n-voudig product
uitgerekend worden. Ook hier zijn de berekeningen met de goniometrische schrijfwijze
veel eenvoudiger.
Het meest eenvoudige geval \(n=2\) is het kwadraat \(z^2\) van een complex getal. Dit is de
vermenigvuldiging van het complex getal met zichzelf. Voor een complex getal \(z\) met
als goniometrische schrijfwijze \(r(\cos \theta + i \sin \theta ) \) wordt dit:
\[ z^2 = z \cdot z = r(\cos \theta + i \sin \theta ) \cdot r(\cos \theta + i \sin \theta ) = r^2(\cos (\theta + \theta ) + i \sin (\theta + \theta ) ) = r^2(\cos 2\theta + i \sin 2\theta ). \]
Het herhalen van deze methode levert dan hogere machten van een complex getal. \(z^3 = z^2 \cdot z \).
Het algemene resultaat staat bekend als de formule van DeMoivre:
Formule van De Moivre ˙Voor een complex getal \(z= r (\cos \theta + i \sin \theta )\) en elk natuurlijk getal \(n\) geldt
\[ z^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta ) \]
We kunnen \((1+i)^8\) op 2 manieren berekenen:
(a)
\((1+i)(1+i)=1+2i-1=2i\), dus \((1+i)(1+i)(1+i)(1+i)=(2i)^2=-4\), dus \((1+i)^8=(-4)^2=16\)
Complexe getallen standaardcursus