In het vorig hoofdstuk werd een punt in het complexe vlak beschreven met behulp van cartesische coordinaten. In dit hoofdstuk wordt een alternatieve manier behandeld om punten in het complexe vlak te beschrijven. Hiermee zullen verschillende operaties van complexe getallen, waaronder de vermenigvuldig, veel eenvoudiger en inzichtelijker worden.

Quick Question 1

Is er een andere manier waarmee je een punt in het vlak zou kunnen beschrijven?

De cartesische schrijfwijze associeert met een elk complex getal \(z=a+bi\) het koppel \((a, b)\). Het reeël deel \(a\) komt overeen met de projectie op de reële as, het imaginair deel \(b\) komt overeen met de projectie op de imaginaire as. De polaire vorm associeert met elk complex getal in het vlak een koppel poolcoördinaten \((r, \theta )\). Hierbij is \(r=|z|\) de norm (afstand tot de oorsprong) en \(\theta \) de hoek die de overeenkomstige vector maakt met de positieve reële as. Op die manier wordt elk complex getal beschreven met een uniek koppel poolcoordinaten.

Men kan een complexe getal in cartesische schrijfwijze \(z=a+bi\) omvormen naar polaire vorm \(z = r(\cos \theta + i\sin \theta )\) en vice versa. Het zal blijken dat sommige berekeningen veel eenvoudiger zijn in één van beide schrijfwijzes. De stelling van pythagoras en de goniometrische getallen leggen het verband tussen de cartesische en polaire schrijfwijze.

Quick Question 2

Gebruik de stelling van pythagoras en de defitie van de cosinus, sinus en tangens in een rechthoekige driehoek om bovenstaande formules af te leiden.

˙Geef de goniometrische schrijfwijze van volgende complexe getallen waarvan het argument gemakkelijk grafisch gevonden kan worden:
\(z=1 \)

Voor \(z=1 \) is de modulus \(1\) en het argument \(0\), dus de goniometrische schrijfwijze is
\[z= \cos 0 + i\sin 0 \text { of } z= \cos 2\pi + i\sin 2\pi .\]
\(z=i \)

Voor \(z=i \) is de modulus \(1\) en het argument \(\frac {\pi }{2}\), dus de goniometrische schrijfwijze is
\[z= \cos \frac {\pi }{2} + i \sin \frac {\pi }{2}.\]
\(z=1+i\)

Voor \(z=1+i\) is de modulus \(\sqrt {2}\) en het argument \(\frac {\pi }{4}\), dus de goniometrische schrijfwijze is
\[z= \sqrt {2}(\cos \frac {\pi }{4}+i\sin \frac {\pi }{4}).\]
\(z=\frac {\sqrt 2}{2}+i\frac {\sqrt 2}{2}\)

Voor \(z=\frac {\sqrt 2}{2}+i\frac {\sqrt 2}{2}\) is de modulus \(1\) en het argument \(\frac {\pi }{4}\), dus de goniometrische schrijfwijze is
\[z = \cos \frac {\pi }{4}+i\sin \frac {\pi }{4}.\]

Merk op: bij het opschrijven van de goniometrische schrijfwijze met concrete getallen moet je de \(\sin \) en \(\cos \) laten staan. Als je die toch zou uitrekenen, krijg je immers terug de cartesische schrijfwijze.