Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
Het begrip \(n\)-de machtswortel van de reële getallen kan op het eerste zicht ook
eenvoudig worden gebruikt bij complexe getallen. Er treden echter enkele nieuwe
fenomenen op.
˙
Voor elk natuurlijk getal \(n\in \Nnul \) en complex getal \(w\in \C \) is een complex getal \(z\in \C \)een \(n\)-de
machtswortel van \(w\) als de \(n\)-de macht van \(z\) gelijk is aan \(w\):
\(\relax \fcolorbox {black}{white}{$z \text { is }\textbf {een $n$-de machtswortel van $w$} \iff z^n = w$}\)
\(2^4 = (-2)^4 = 16, \quad (-2i)^3 = 8i\)
Welke van volgende uitspraken zijn waar?
Juist Fout \(\sg 3\) is een
derdermachtswortel van \(27\)
want \(3^3 = 27\)
Juist Fout \(-3\) is een derdermachtswortel van
\(27\)
want \((-3)^3 = -27 \neq 27 \)
Juist Fout \(i\) is een vierkantswortel van \(-1\)
want \(i^2= -1\)
Juist Fout \(2+3i\) is een vierkantswortel van \(4+9i\)
Juist Fout \(2+3i\) is een
vierkantswortel van \(-5+12i\)
want \((2+3i)^2 = 4 + 12i - 9 = -5+12i\)
˙
Net zoals bij de reële getallen is het begrip \(n\)-de machtswortel van \(a\) dus
eigenlijk gewoon een naam voor een oplossing van de vergelijking \(x^n = a\).
Bij de reële getallen was er een belangrijk onderscheid tussen \(n\) even en \(n\) oneven
omdat negatieve getallen geen even machtswortels hebben, en positieve getallen
twee even machtswortels hebben:
\(x^2 =\sg 4\)
heeft twee reële oplossingen:
\(x=2\) en \(x=-2\)
\(x^2 = -4\)
heeft geen reële oplossingen:
\(x^2 \neq -4, \forall x \in \R \)
\(x^3 =\sg 8\)
heeft een unieke reële oplossing:
\(x=2\)
\(x^3 = -8\)
heeft een unieke reële oplossing:
\(x=-2\)
Er zijn altijd ten hoogste twee reële \(n\)-de machtswortels, en als \(a\in \R \) twee \(n\)-de
machtswortel had noemden we de unieke positieve de\(n\)-machtswortel, en
noteerden die met \(\sqrt [n]{a}\) of \(a^{1/n}\). Voor \(n\) even was dan ook \(-\sqrt [n]{a}\)een\(n\)-de machtswortel.
Bij complexe getallen is de zaak enerzijds eenvoudiger: we zullen zien dat er
altijd precies \(n\) \(n\)-de machtswortels zijn. Anderzijds is het niet meer mogelijk om
over de\(n\)-de machtswortel te spreken. We zullen dan ook de notatie \(\sqrt [n]{z}\) of \(z^{1/n}\) niet
gebruiken.
Vergelijkingen van de vorm \(z^n=a+bi\) met \(z\in \C , n\in \Z \) zijn met de formule van De Moivre op te
lossen.
Bereken alle vierkantswortels van \(1-i\).
Je zoekt dus alle oplossingen van \(z^2 = 1 - i\), met \(z \in \C \).
We
schrijven eerst beide leden van de opgave in de goniometrische schrijfwijze.
De onbekende \(z\) schrijven we als \(z = r(\cos \theta +i\sin \theta )\). Het linkerlid van de vergelijking wordt dan volgens
de formule van De Moivre
Twee complexe getallen in goniometrische schrijfwijze zijn gelijk aan elkaar als ze
dezelfde modulus hebben, en hun argument gelijk is op een veelvoud van \(2 \pi \) na. Hieruit
volgt:
Dus \(r= 2^{1/4}\) en \(\theta = - \frac {\pi }{8} + k \pi \), \(k \in \Z \). We hebben de onbekenden \(r\) en \(\theta \) dus gevonden.
Voor \(k=0\) is \(\theta = - \frac {\pi }{8}\) en voor \(k=1\) is \(\theta = - \frac {\pi }{8} + \pi = \frac {7\pi }{8}\). Voor alle andere waarden van \(k\) krijgen we één van beide hoeken
op een veelvoud van \(2 \pi \) na. Er zijn dus precies twee verschillende oplossingen
\[\mbox {$r^4=1$ met $r\in \Rplus $ en $4\theta =0+2k\pi $ met $k\in \Z .$}\]
Dus \(r=1\), want \(r^4=1\) heeft slecht 1 reële oplossing, en \(\theta =k\pi /2\) met \(k\in \Z .\) Dit levert vier verschillende wortels. \(z_1=1(\cos 0+i\sin 0)=1\), \(z_2=1(\cos \pi /2+i\sin \pi /2) =i\), \(z_3=1 (\cos \pi +i\sin \pi ) =-1,\) \(z_4=1 (\cos 3\pi /2+i\sin 3\pi /2)=-i.\)
Dit voorbeeld kan je veel sneller oplossen door \(z^4-1\) te ontbinden in factoren:
\[ z^4-1=(z^2-1)(z^2+1)\]
De nulpunten hiervan zijn inderdaad 1,-1,i,-i. Ontbinden in factoren lukt echter niet
meer bij bijvoorbeeld \(z^5=1\), hiervoor moet je bovenstaande methode gebruiken.
Bereken alle derdemachtswortels van \(8i\).
Dit is dezelfde vraag als bereken alle
oplossingen van \(z^3=8i\), met \(z\in \C \).
We schrijven eerst beide leden van de opgave in de
goniometrische schrijfwijze.
De onbekende \(z\) schrijven we als \(z = r(\cos \theta +i\sin \theta )\). Het linkerlid van de vergelijking wordt dan volgens
de formule van De Moivre
Twee complexe getallen in goniometrische schrijfwijze zijn gelijk aan elkaar als ze
dezelfde modulus hebben, en hun argument gelijk is op een veelvoud van \(2 \pi \) na. Hieruit
volgt:
Dus \(r= 2\), want \(r^3=8\) heeft slecht 1 reële oplossing, en \(\theta = \frac {\pi }{6} + k \frac {2\pi }{3}\), \(k \in \Z \).
Voor \(k=0\) is \(\theta = \frac {\pi }{6}\), voor \(k=1\) is \(\theta = \frac {\pi }{6} + \frac {2\pi }{3} = \frac {5\pi }{6}\) en voor \(k=2\) is \(\theta = \frac {\pi }{6} + \frac {4\pi }{3} = \frac {9\pi }{6} = \frac {3\pi }{2}\). Voor alle andere waarden van \(k\) krijgen we één van
deze hoeken op een veelvoud van \(2 \pi \) na. Er zijn dus drie verschillende oplossingen
\( z_1 = 2( \cos (\frac {\pi }{6}) + i \sin (\frac {\pi }{6})) = 2(\frac {\sqrt 3}{2} + i \frac 12)= \sqrt 3 + i\), \( z_2 = 2( \cos (\frac {5\pi }{6}) + i \sin (\frac {5\pi }{6})) =2(- \frac {\sqrt 3}{2} + i \frac 12)=-\sqrt 3 +i \), \( z_3 = 2( \cos (\frac {3\pi }{2}) + i \sin (\frac {3\pi }{2})) =2(0 + i (-1))=-2i \).
Je kan de vergelijking \(z^n=w\) oplossen voor een algemeen getal \(w\in \C \), en dan krijg je formules die
je daarna kan gebruiken. Het resultaat geeft volgende interessante eigenschap: de
vergelijking \(z^n=w\) heeft voor elke \(w\in \Cnul \) precies \(n\) oplossingen:
Voor elke \(n\in \Nnul \) en \(w=r(\cos \theta +i\sin \theta ) \in \Cnul \) heeft de vergelijking \(z^n = w\) precies \(n\) verschillende complexe oplossingen
Complexe getallen met vlugge vragen