Het begrip \(n\)-de machtswortel van de reële getallen kan op het eerste zicht ook eenvoudig worden gebruikt bij complexe getallen. Er treden echter enkele nieuwe fenomenen op.

Vergelijkingen van de vorm \(z^n=a+bi\) met \(z\in \C , n\in \Z \) zijn met de formule van De Moivre op te lossen.

Bereken alle derdemachtswortels van \(8i\).

Dit is dezelfde vraag als bereken alle oplossingen van \(z^3=8i\), met \(z\in \C \).

We schrijven eerst beide leden van de opgave in de goniometrische schrijfwijze.

De onbekende \(z\) schrijven we als \(z = r(\cos \theta +i\sin \theta )\). Het linkerlid van de vergelijking wordt dan volgens de formule van De Moivre

\[z^3 = r^3 (\cos 3\theta +i\sin 3\theta ).\]

Voor het rechterlid \(8i\) geldt

\[ |8i| = 8, \qquad \arg (8i) = \frac {\pi }{2}, \]
zodat
\[ 8i = 8( \cos (\frac {\pi }{2}) + i \sin (\frac {\pi }{2})). \]

De vergelijking \(z^3=8i\) wordt:

\[r^3 (\cos 3\theta +i\sin 3\theta ) = 8( \cos (\frac {\pi }{2}) + i \sin (\frac {\pi }{2})).\]
Twee complexe getallen in goniometrische schrijfwijze zijn gelijk aan elkaar als ze dezelfde modulus hebben, en hun argument gelijk is op een veelvoud van \(2 \pi \) na. Hieruit volgt:
\[ r^3 = 8 \quad \text {met} \quad r\in \Rplus \qquad \text {en} \qquad 3 \theta = \frac {\pi }{2} + 2 k \pi \quad \text {met} \quad k\in \Z \]
Dus \(r= 2\), want \(r^3=8\) heeft slecht 1 reële oplossing, en \(\theta = \frac {\pi }{6} + k \frac {2\pi }{3}\), \(k \in \Z \).

Voor \(k=0\) is \(\theta = \frac {\pi }{6}\), voor \(k=1\) is \(\theta = \frac {\pi }{6} + \frac {2\pi }{3} = \frac {5\pi }{6}\) en voor \(k=2\) is \(\theta = \frac {\pi }{6} + \frac {4\pi }{3} = \frac {9\pi }{6} = \frac {3\pi }{2}\). Voor alle andere waarden van \(k\) krijgen we één van deze hoeken op een veelvoud van \(2 \pi \) na. Er zijn dus drie verschillende oplossingen
\( z_1 = 2( \cos (\frac {\pi }{6}) + i \sin (\frac {\pi }{6})) = 2(\frac {\sqrt 3}{2} + i \frac 12)= \sqrt 3 + i\),
\( z_2 = 2( \cos (\frac {5\pi }{6}) + i \sin (\frac {5\pi }{6})) =2(- \frac {\sqrt 3}{2} + i \frac 12)=-\sqrt 3 +i \),
\( z_3 = 2( \cos (\frac {3\pi }{2}) + i \sin (\frac {3\pi }{2})) =2(0 + i (-1))=-2i \).

Je kan de vergelijking \(z^n=w\) oplossen voor een algemeen getal \(w\in \C \), en dan krijg je formules die je daarna kan gebruiken. Het resultaat geeft volgende interessante eigenschap: de vergelijking \(z^n=w\) heeft voor elke \(w\in \Cnul \) precies \(n\) oplossingen:

Bewijs

Laat \(w = r(\cos \theta + i\sin \theta ) \in \mathbb {C}\setminus \{0\}\) en \(n \in \mathbb {N}\setminus \{0\}\). We zoeken alle oplossingen \(z\) van de vergelijking \(z^n = w\).

Schrijf \(z\) in polaire vorm:

\[ z = \rho (\cos \varphi + i\sin \varphi ), \]
met \(\rho > 0\) en \(\varphi \in \mathbb {R}\).

Dan geldt, met de formule van De Moivre:

\[ z^n = \rho ^n \left ( \cos (n\varphi ) + i\sin (n\varphi ) \right ). \]

De vergelijking \(z^n = w\) wordt dus:

\[ \rho ^n \left ( \cos (n\varphi ) + i\sin (n\varphi ) \right ) = r(\cos \theta + i\sin \theta ). \]

Gelijkheid van complexe getallen in polaire vorm geeft:

\[ \rho ^n = r \quad \text {en} \quad n\varphi = \theta + 2\pi k,\; k \in \mathbb {Z}. \]

Hieruit volgt:

\[ \rho = \sqrt [n]{r}, \quad \varphi = \frac {\theta + 2\pi k}{n}. \]

Dus de oplossingen zijn:

\[ z_k = \sqrt [n]{r}\left ( \cos \left ( \frac {\theta + 2\pi k}{n}\right ) + i\sin \left ( \frac {\theta + 2\pi k}{n}\right ) \right ), \quad k \in \mathbb {Z}. \]

Omdat \(\cos \) en \(\sin \) \(2\pi \)-periodiek zijn, geven de waarden \(k = 0,1,\ldots ,n-1\) precies \(n\) verschillende oplossingen. Voor \(k \ge n\) of \(k < 0\) herhalen de oplossingen zich.

Dus er zijn precies \(n\) verschillende oplossingen.

Liefhebbers van de Euler notatie kunnen veel eenvoudiger schrijven

\[ z_k = \sqrt [n]{r} e^\frac {\theta + 2\pi k}{n} \text { met } k\in \left \{0,1,2,\ldots ,n-1\right \} \]