Uit de formule \(z\overline {z} = |z|^2\) en de bewerking

\[ z\overline {z} = |z|^2 \iff \frac {z\overline {z}}{|z|^2}=1 \iff z\cdot \frac {\overline {z}}{|z|^2}=1 \]

volgt dat \(\frac {\overline {z}}{|z|^2}\) de inverse is van \(z\), want hun product is \(1\).

Hieruit volgt ook onmiddellijk een manier om het quotiënt van twee complexe getallen te berekenen:

Schrijf volgende uitdrukkingen als een complex getal van de vorm \(a+bi\):
\(\dfrac {1}{1+2i} = \answer [onlineshowanswerbutton]{\frac 15 -\frac 25 i}\)

Vermenigvuldig teller en noemer met \(\overline {1+2i} = 1-2i\), zodat de noemer \((1-2i)(1+2i) = 5\in \R \):
\[ \frac {1}{1+2i} = \frac {1}{1+2i} \frac {1-2i}{1-2i} = \frac {1-2i}{5}=\frac 15 -\frac 25 i \]
\(\dfrac {1+2i}{3+4i} = \answer [onlineshowanswerbutton]{\frac {11}{25} + \frac {2}{25}i}\)

Vermenigvuldig teller en noemer met \(\overline {3+4i} = 3-4i\), zodat de noemer \((3+4i)(3-4i) = 25\in \R \):
\[ \frac {1+2i}{3+4i} = \frac {1+2i}{3+4i} \cdot \frac {3-4i}{3-4i} = \frac {11 + 2i}{25}= \frac {11}{25} + \frac {2}{25}i \]
\(\dfrac {3+4i}{1+2i} = \answer [onlineshowanswerbutton]{\frac {11}{5}-\frac {2}{5}i}\)

Vermenigvuldig teller en noemer met \(\overline {1+2i} = 1-2i\), zodat de noemer \((1+2i)(1-2i) = 5\in \R \):
\[ \frac {3+4i}{1+2i} = \frac {3+4i}{1+2i} \cdot \frac {1-2i}{1-2i} = \frac {11 - 2i}{5}=\frac {11}{5}-\frac {2}{5}i \]