Ontbinden in factoren is het omzetten van een som (van termen) in een product
(van factoren). Er bestaan hiervoor verschillende methodes. We ontbinden altijd zo
ver mogelijk.
Afzonderen
Voor het rekenen met lettervormen geldt:
Distributiviteit toepassen in omgekeerde richting noemen we afzonderen.
\( 24x^3 - 15x^2 + 3 =\answer [onlineshowanswerbutton]{ 3(8x^2 - 5x + 1) } \)
\( 24x^3 - 15x^2 + x =\answer [onlineshowanswerbutton]{ x(24x^2 - 15x + 1) } \)
\( 24x^3 - 15x^2 + 3x =\answer [onlineshowanswerbutton]{ 3x(8x^2 - 5x + 1) } \)
\( 24x^3 - 15x^2 + 3x^4 =\answer [onlineshowanswerbutton]{ 3x^2(x^2 + 8x - 5) } \)
Soms kan je door haakjes toe te voegen bij een deel van de termen een factor
afzonderen. Dit speciale geval van afzonderen noemt men ’samennemen 2 aan 2’.
Zoals volgend voorbeeld illustreert is het mogelijk dat hierna verder vereenvoudigd
kan worden.
Samennemen 2 aan 2
\[ \begin{array}{rclr} 3x^3 - 6x^2 + x - 2 &=& (3x^3 - 6x^2) + (x - 2)\\ &=& 3x^2(x - 2) + (x - 2)\\ &=& (x - 2)(3x^2 + 1) \end{array} \]
Merk op dat het ook mogelijk is om commutativiteit te gebruiken en de haakjes
anders te plaatsen:
\[ \begin{array}{rclr} 3x^3 - 6x^2 + x - 2 &=& (- 6x^2 -2) + (3x^2 + x)\\ &=& -2(3x^2 + 1) + x(3x^2 + 1)\\ &=& (3x^2 + 1)(x - 2) \end{array} \]
De distributiviteitseigenschap toepassen levert enkele interessante gelijkheden.
Aangezien ze vaak voorkomen kregen ze een eigen naam: de merkwaardige
producten.
Merkwaardige producten
Voor het rekenen met lettervormen:
\[ \begin{array}{rclr} (a+b)^2 &=& a^2+2ab+b^2 &\text {(kwadraat van een som)}\\ (a-b)^2 &=& a^2-2ab+b^2 &\text {(kwadraat van verschil via $(a+(-b))^2$)}\\ a^2-b^2 &=& (a+b)(a-b) & \text {(verschil van twee kwadraten)}\\[1cm] (a+b)^3 &=& a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 &\text {(derdemacht van een som)}\\ (a-b)^3 &=& a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 &\text {(derdemacht van een verschil)}\\ \end{array} \]
Bewijs
De eigenschappen volgen rechtstreeks uit de distributiviteitseigenschap en de
definitie van machtsverheffing.
- \( (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
- \( (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
- \( (a+b)(a-b) = a^2 -ab +ba - b^2 = a^2 -ab +ab - b^2 = a^2 - b^2 \)
- \( (a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 =(a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = (a^3 + 2a^{2}b + ab^2)+(ba^2 + 2ab^2 + b^3) = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \)
- \( (a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 =(a-b)(a^2 - 2ab + b^2) = (a^3 - 2a^{2}b + ab^2)-(-ba^2 + 2ab^2 - b^3) = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \)
Onderstaande kennisclip werkt zonder overbodige attributen de merkwaardige
producten uit.
\( 4x^2 + 12xy + 9y^2 =\answer [onlineshowanswerbutton]{(2x + 3y)^2 } \)
\( (3-2x)^2 =\answer [onlineshowanswerbutton]{9 - 12x + 4x^2 } \)
\( 25x^2 - 3 =\answer [onlineshowanswerbutton]{(5x - \sqrt {3})(5x + \sqrt {3})} \)
\( t^3 - 6t^2 + 12t - 8 =\answer [onlineshowanswerbutton]{(t - 2)^3 } \)
Ontbinden in factoren