Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
Wiskundigen zijn dikwijls erg enthousiast over complexe getallen omdat ze de
wiskunde vereenvoudigen. Dit lijkt voor sommigen misschien moeilijk te geloven, maar we zullen het proberen
aan te tonen door het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen opnieuw te bestuderen
nu we stilaan vertrouwd raken met de complexe getallen.
In de tweede graad werd reeds gezien hoe je tweedegraadsvergelijkingen
oplost:
Vierkantsvergelijkingen \(ax^2+bx+c=0\) oplossen in \(\R \).
Een (reële) tweedegraadsvergelijking van de vorm \(ax^2+bx+c\), met \(a,b,c\in \R \) en \(a\neq 0\) heeft als discriminant
het (reële) getal \(\relax \fcolorbox {black}{white}{$D=b^2-4ac$}\), en heeft als oplossingen
als \(D<0\):
geen reële oplossingen
als \(D=0\):
precies een reële oplossing, namelijk \(\relax \fcolorbox {black}{white}{$x_1=-\dfrac {b}{2a}$}\)
als \(D>0\):
precies twee reële oplossingen, namelijk \(\relax \fcolorbox {black}{white}{$x_1=\dfrac {-b+\sqrt {D}}{2a}$}\) en \(\relax \fcolorbox {black}{white}{$x_2=\dfrac {-b-\sqrt {D}}{2a}$}\)
Bovendien zijn de volgende uitspraken equivalent:
(a)
\(x_1\) en \(x_2\) zijn oplossingen van de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\)
(b)
\(x_1\) en \(x_2\) zijn nulpunten van de functie \(f(x)=ax^2+bx+c\)
(c)
\(x_1\) en \(x_2\) zijn snijpunten van de kromme \(y=ax^2+bx+c\) met de \(x\)-as
(d)
\(ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\)
(ontbinden in factoren)
(e)
\(x_1+x_2 = -\dfrac {b}{a}\) en \(x_1\cdot x_2 = \frac {c}{a}\)
(som en product van de wortels)
Een negatieve discriminant stelde in de tweede graad een probleem, want uit
negatieve getallen kan je in de reële getallen geen vierkantswortels trekken. Bij
complexe getallen verdwijnt dat probleem:
Een (reële) tweedegraadsvergelijking van de vorm \(ax^2+bx+c\), met \(a,b,c\in \R \) en \(a\neq 0\) heeft altijd twee complex
toegevoegde oplossingen, namelijk