
- Verberg vooruitgang Toon vooruitgang
- Verwijder je antwoorden (op deze pagina)
Wiskundigen zijn dikwijls erg enthousiast over complexe getallen omdat ze de
wiskunde vereenvoudigen.
Dit lijkt voor sommigen misschien moeilijk te geloven, maar we zullen het proberen
aan te tonen door het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen opnieuw te bestuderen
nu we stilaan vertrouwd raken met de complexe getallen.
In de tweede graad werd reeds gezien hoe je tweedegraadsvergelijkingen oplost:
Een (reële) tweedegraadsvergelijking van de vorm \(ax^2+bx+c\), met \(a,b,c\in \R \) en \(a\neq 0\) heeft als discriminant het (reële) getal \(\relax \fcolorbox {black}{white}{$D=b^2-4ac$}\), en heeft als oplossingen
als \(D<0\): | geen reële oplossingen |
als \(D=0\): | precies een reële oplossing, namelijk \(\relax \fcolorbox {black}{white}{$x_1=-\dfrac {b}{2a}$}\) |
als \(D>0\): | precies twee reële oplossingen, namelijk \(\relax \fcolorbox {black}{white}{$x_1=\dfrac {-b+\sqrt {D}}{2a}$}\) en \(\relax \fcolorbox {black}{white}{$x_2=\dfrac {-b-\sqrt {D}}{2a}$}\) |
Bovendien zijn de volgende uitspraken equivalent:
(a) | \(x_1\) en \(x_2\) zijn oplossingen van de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\) | |
(b) | \(x_1\) en \(x_2\) zijn nulpunten van de functie \(f(x)=ax^2+bx+c\) | |
(c) | \(x_1\) en \(x_2\) zijn snijpunten van de kromme \(y=ax^2+bx+c\) met de \(x\)-as | |
(d) | \(ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\) | (ontbinden in factoren) |
(e) | \(x_1+x_2 = -\dfrac {b}{a}\) en \(x_1\cdot x_2 = \frac {c}{a}\) | (som en product van de wortels) |
Een negatieve discriminant stelde in de tweede graad een probleem, want uit negatieve getallen kan je in de reële getallen geen vierkantswortels trekken. Bij complexe getallen verdwijnt dat probleem:
Een (reële) tweedegraadsvergelijking van de vorm \(ax^2+bx+c\), met \(a,b,c\in \R \) en \(a\neq 0\) heeft altijd twee complex toegevoegde oplossingen, namelijk
\(\relax \fcolorbox {black}{white}{$x_1=\dfrac {-b+\sqrt {b^2-4ac}}{2a}$}\) en \(\relax \fcolorbox {black}{white}{$x_2=\dfrac {-b-\sqrt {b^2-4ac}}{2a}$}\)
die echter samenvallen als \(b^2-4ac=0\), en dan gelijk worden aan \(x_1=x_2=\dfrac {-b}{2a}\).
Het begrip discriminant wordt dus in zekere zin overbodig (of minstens veel minder belangrijk).